🎲 Тервер

Распределение Стьюдента

Q: Когда нормаль нельзя, а Стьюдента можно?

Когда дисперсия оценена по той же малой выборке. Если $\sigma$ известна из внешних источников — паспорт прибора, длинная история данных, — смело нормаль. Если $\sigma = S$ из десяти наблюдений — только Стьюдента: подмена добавляет разброс, и нормальные таблицы дают излишне узкие интервалы и ложно значимые вердикты. Формально требуется нормальность самих данных; на практике $t$-метод устойчив к умеренным отклонениям от неё, особенно при равных объёмах групп.

англ. Student's t-distribution

Распределение Стьюдента: закон t-статистики (X̄ − μ)/(S/√n), когда σ заменена выборочным S. Похоже на нормаль, но хвосты толще; с ростом степеней свободы сливается с нормальным.

В формуле доверительного интервала $σ$ обычно неизвестна — её заменяют выборочным стандартом $S$ . Эта подмена ломает нормальность: $T = (\overset{ˉ}{X} - μ) / (S / n)$ распределён по закону Стьюдента с $ν = n - 1$ степенями свободы. История колоритная: Уильям Госсет вывел закон, работая на пивоварне Guinness, и печатался под псевдонимом Student — публиковаться сотрудникам запрещали. По форме тот же симметричный колокол, но хвосты толще: случайный $S$ добавляет свой разброс, крайние значения случаются чаще. Техника малых выборок — в уроке доверительные интервалы.

Считаем: пять измерений детали — $100, 2$ ; $99, 8$ ; $100, 6$ ; $99, 4$ ; $100, 0$ мм. Среднее $100, 0$ , исправленный стандарт $S = 0, 45$ мм. Доверительный интервал $95%$ : квантиль $t_{0, 975; 4} = 2, 776$ , $Δ = 2, 776 \cdot 0, 45/ 5 \approx 0, 56$ мм, итог от $99, 44$ до $100, 56$ . Наглый вариант с нормальным $1, 96$ дал бы $\pm 0, 39$ мм — коридор заужен, реальная гарантия ниже заявленной. С ростом $ν$ разница тает: при $ν = 30$ критическое значение $2, 042$ против $1, 96$ , при $ν > 120$ таблицы совпадают до сотых. Применение к тестам — в уроке проверка гипотез.

T = \frac{X ˉ - μ}{S / n} \sim t (n - 1), \overset{ˉ}{X} \pm t_{γ, n - 1} \cdot \frac{S}{n}

t-статистика при замене σ выборочным S и доверительный интервал для μ по малой выборке

Частые вопросы

Когда нормаль нельзя, а Стьюдента можно?

Когда дисперсия оценена по той же малой выборке. Если $σ$ известна из внешних источников — паспорт прибора, длинная история данных, — смело нормаль. Если $σ = S$ из десяти наблюдений — только Стьюдента: подмена добавляет разброс, и нормальные таблицы дают излишне узкие интервалы и ложно значимые вердикты. Формально требуется нормальность самих данных; на практике $t$ -метод устойчив к умеренным отклонениям от неё, особенно при равных объёмах групп.

Что такое степени свободы и почему n − 1?

Степени свободы — число независимых кусочков информации. Сумма отклонений $\sum (X_{i} - \overset{ˉ}{X}) = 0$ всегда, поэтому из $n$ отклонений свободны лишь $n - 1$ : последнее определяется остальными через среднее. Отсюда $ν = n - 1$ . Наглядно: три числа с зафиксированным средним — свободны два. Чем больше степеней свободы, тем тоньше хвосты: $t (\infty)$ — в точности стандартная нормаль, что и объясняет слияние таблиц на больших выборках.