🎲 Тервер

Пуассоновский поток событий

англ. Poisson process

Поток редких независимых событий с постоянной интенсивностью λ: число событий за время t распределено по Пуассону с параметром λt, промежутки между событиями — экспоненциальны. Модель звонков, отказов, заказов.

Звонки в диспетчерскую, отказы оборудования, клики по баннеру: события сыплются поодиночке, независимо и в среднем ровно. Пуассоновский (простейший) поток — математическая модель такого беспорядка с тремя свойствами: стационарность (интенсивность $λ$ не меняется со временем), отсутствие последействия (события в непересекающихся интервалах независимы), ординарность (два события за микромомент практически невозможны). Число событий за время $t$ подчиняется распределению Пуассона: $P (X_{t} = k) = (λ t)^{k} e^{- λ t} / k!$ . Словарная статья распределения — распределение Пуассона, тема — урок биномиальное и Пуассона.

Числа: $λ = 2$ звонка в минуту. Тишина за $5$ минут: $e^{- 10} \approx 0, 000045$ — почти невероятно; ровно $8$ звонков: $1 0^{8} e^{- 10} /8! \approx 0, 113$ . Вторая грань потока — промежутки между событиями: они экспоненциальны со средним $1/ λ = 30$ секунд и не имеют памяти: три минуты тишины не делают ближайшую секунду «обещающей», ожидание всё те же полминуты. Поэтому поток регулярно обманывает интуицию: кластеры событий в случайных данных — норма, а не заговор. На экспоненциальных промежутках стоит весь аппарат теории массового обслуживания.

P (X_{t} = k) = \frac{( λ t ) ^{k}}{k !} e^{- λ t}, E [X_{t}] = λ t, P (T > t) = e^{- λ t}

пуассоновский поток: счёт событий за время t с интенсивностью λ и экспоненциальное распределение промежутков T

Частые вопросы

Как проверить на данных, что поток пуассоновский?

Три признака: события идут по одному, не влияют друг на друга, средняя частота стабильна во времени. На данных это проверяют критерием согласия: фактические частоты числа событий за интервал сравнивают с пуассоновскими предсказаниями при оценённом $λ$ . Если интенсивность «плавает» — час пик днём, затишье ночью, — поток нестационарен, и чистую модель применяют по кускам с кусочной интенсивностью; склеивать день и ночь одной $λ$ — путь к систематическим ошибкам прогноза.

Почему промежутки между событиями экспоненциальны?

Из отсутствия последействия. Вероятность, что за время $t$ не случится ни одного события, равна $e^{- λ t}$ — а это в точности $P (T > t)$ для первого промежутка $T$ . После наступившего события счёт обнуляется с тем же законом: ожидание не зависит от уже прожитого времени. Верно и обратное: экспоненциальные промежутки склеиваются в пуассоновский счёт — две картины одного объекта, эквивалентные математически.