🏗️ Сопромат

Приведённая длина

англ. Effective length

Произведение μl: длина стержня, умноженная на коэффициент закрепления μ; подставляется в формулу Эйлера вместо реальной длины, чтобы учесть способ опирания концов.

Один и тот же стержень держит нагрузку по-разному в зависимости от того, как закреплены его концы: защемлённая консоль выпучивается гораздо охотнее стержня на двух шарнирах. Хитрость в том, что все случаи укладываются в одну формулу Эйлера, если вместо реальной длины $l$ подставить приведённую длину $μ l$ . Безразмерный коэффициент $μ$ — коэффициент приведения — равен полуволне синусоиды изогнутой оси, делённой на длину: шарнир–шарнир даёт $μ = 1$ , защемление обоих концов $μ = 0, 5$ , консоль с заделкой $μ = 2$ , заделка плюс шарнир $μ \approx 0, 7$ . Чем свободнее концы, тем больше $μ$ и тем меньше критическая сила.

Считаем: стержень длиной $l = 2$ м. Шарнирно опёртый имеет $μ l = 2$ м, консоль той же длины — $μ l = 4$ м. Критическая сила обратно пропорциональна квадрату приведённой длины, поэтому консоль держит вчетверо меньше: $(4/2)^{2} = 4$ . Отсюда же и гибкость стержня $λ = μ l / i$ — паспорт устойчивости, по которому выбирают формулу: Эйлер или Ясинский. Схемы закреплений и вывод — в уроке устойчивость сжатых стержней, сама сила — в терминах эйлерова критическая сила.

P_{кр} = \frac{π ^{2} E I}{( μ l ) ^{2}}, λ = \frac{μ l}{i}

приведённая длина входит в критическую силу в квадрате: заделка вместо шарниров (

μ

: 1 → 0,5) повышает

P_{кр}

в четыре раза

Частые вопросы

Почему у консоли коэффициент приведения μ = 2?

Форма потери устойчивости консоли — четверть волны синусоиды: узел на заделке, максимум на свободном конце. Полная полуволна была бы вдвое длиннее стержня, то есть изогнутая ось ведёт себя как шарнирный стержень длиной $2 l$ . Подстановка $μ = 2$ в $(μ l)^{2}$ и даёт учетверённое снижение критической силы по сравнению с шарнирным стержнем той же длины.

Можно ли обойтись без приведённой длины?

Можно: для каждого закрепления решается своя краевая задача, и у каждой своя константа в знаменателе. Но все константы — целые и полуцелые числа, и удобнее держать одну формулу с таблицей $μ$ . Практическая осторожность: реальные закрепления редко бывают идеальными (защемление всегда чуть податливо), поэтому в расчётах норм часто берут $μ$ ближе к шарнирной схеме — запас идёт в надёжность.