Относительная погрешность

Штангенциркуль с ценой деления 0,1 мм отлично измеряет деталь в сто миллиметров и почти бесполезен для фольги толщиной в полмиллиметра: ошибка одна и та же, а качество измерений несравнимо. Это ощущение формализует относительная погрешность — абсолютная ошибка, отнесённая к модулю точного значения: $\delta =\Delta /|x|$, где $\Delta =|x-\tilde{x}|$. Величина безразмерная, её выражают долей единицы или процентами, и именно она отвечает на вопрос «насколько хорошо», когда масштабы задач несопоставимы. Для детали это 0,1/100 = 0,001 — одна тысячная, для фольги 0,1/0,5 = 0,2 — целых двадцать процентов. Правило верных цифр отсюда прямое: при $\delta \approx 10^{-5}$ верны примерно пять значащих цифр числа. Где живут все виды ошибок расчёта — урок про источники погрешностей.

В машинной арифметике относительная мера — главный арбитр: числа с плавающей точкой хранятся с фиксированной относительной точностью, а машинное эпсилон двойной точности равно $2^{-52}\approx 2,2\cdot 10^{-16}$. Каждая арифметическая операция добавляет ошибку этого порядка, а вычитание близких чисел способно раздуть относительную погрешность до неприличия: операнды точны, но их малая разность делит ту же абсолютную ошибку на крошку. Второй множитель — чувствительность задачи: у плохо обусловленной системы относительная ошибка решения может превышать относительную ошибку данных в число обусловленности раз. Не случайно критерии останова итерационных методов пишут в относительной форме — так требуемая точность не зависит от масштаба корня; рамка любых итераций — в термине итерационный метод, а усиление ошибок данными — в термине обусловленность задачи.