Число обусловленности

Число обусловленности — коэффициент, показывающий, во сколько раз относительная погрешность результата может превысить относительную погрешность входных данных. Для системы $Ax=b$ определяют $\kappa (A)=\Vert A\Vert \cdot \Vert A^{-1}\Vert$; для симметричной матрицы в спектральной норме это отношение крайних собственных значений \lambda_\max/\lambda_\min (как их находить — в уроке о собственных значениях). Всегда $\kappa \ge 1$; чем меньше, тем лучше обусловлена задача.

Правило практического счёта: при машинной точности $\sim 10^{-16}$ и числе обусловленности $\kappa \sim 10^k$ в решении остаётся порядка $16-k$ верных знаков. Матрица с большим $\kappa$ — плохо обусловленная: крошечное возмущение $b$ сильно меняет $x$; так ведёт себя матрица Вандермонда на равномерной сетке. Лечение — масштабирование, регуляризация, переформулировка задачи; не обойтись без умения искать обратную матрицу.