Ошибка второго рода

Станок сбился с режима, а контроль рапортует «всё в норме», — ошибка второго рода: $H_0$ не отвергнута, хотя верна альтернатива. Её вероятность $\beta$ зависит не только от теста, но и от масштаба беды: сдвиг $+10\sigma$ поймать легко, сдвиг $+0,5\sigma$ — трудно. Обратная величина $1-\beta$ — мощность критерия: при мощности $0,8$ тест ловит эффект в восьми случаях из десяти. Малая мощность — тихая причина выводов «мы ничего не нашли»: не эффекта нет, а выборка слепа. Связка ложных тревог и пропусков — в уроке проверка гипотез.

Считаем: номинал $100$ мм, $\sigma =2$ мм, $n=25$, двусторонний тест с $\alpha =0,05$. Станок сполз на $\mu =100,8$ мм; стандартная ошибка $0,4$ мм, пороги $100\pm 0,784$. Новый средний попадает в старый коридор с вероятностью $\Phi ((100,784-100,8)/0,4)=\Phi (-0,04)\approx 0,48$, значит, мощность лишь около $52\%$: почти половина сбоев проходит незамеченными. Увеличьте $n$ до $100$ — ошибка падает до $0,2$ мм, сдвиг становится четырьмя ошибками, и мощность подскакивает за $98\%$. Размер эффекта и объём выборки решают, заметит ли тест беду.