🔢 Численные методы

Метод Ньютона (метод касательных)

англ. Newton's method (tangent method)

Итерационное решение уравнения f(x) = 0: касательная в текущей точке указывает следующее приближение; при удачном старте ошибка возводится в квадрат и верные знаки удваиваются за шаг.

Решать нелинейные уравнения аналитически удаётся редко: кубическая формула громоздка, а для уравнения вида $x - cos x = 0$ корней в элементарных функциях нет вовсе. Выход — метод Ньютона (метод касательных): итерационная процедура, добирающаяся до корня за считанные шаги. Идея геометрична: в текущем приближении $x_{n}$ проведите касательную к графику $f$ и посмотрите, где она пересекает ось абсцисс, — эта точка и есть следующее приближение $x_{n + 1}$ . Алгебраически то же самое даёт линеаризация по Тейлору: обрезаем разложение на первом порядке и решаем линейное уравнение $f (x_{n}) + f^{'} (x_{n}) (x - x_{n}) = 0$ . Требования понятны: непрерывная дифференцируемость $f$ и старт там, где производная не обращается в нуль. Полный разбор с краевыми случаями — в уроке решение нелинейных уравнений, а геометрия касательной — в термине касательная.

Главная ценность метода — скорость. Сходимость квадратична: ошибка на каждом шаге примерно возводится в квадрат, число верных знаков удваивается, и до машинной точности хватает трёх-пяти итераций. Неприхотливый метод половинного деления сжимает отрезок лишь вдвое за шаг — ему нужны десятки итераций там, где Ньютону хватает пяти. Плата за скорость — капризность: неудачный старт выбрасывает приближение далеко от корня; вблизи экстремума, где $f^{'} \approx 0$ , касательная почти горизонтальна и шаг улетает в сторону. У кратного корня сходимость деградирует до линейной — верные знаки перестают удваиваться. Поэтому на практике ставят гибрид: бисекцией грубо локализуют корень, Ньютоном добивают точность, а критерием останова служит малость относительного приращения; как вообще измеряют ошибки вычислений, рассказывает урок про источники погрешностей.

x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f ( x _{n} )}{f ^{'} ( x _{n} )}

для f(x) = x² − 2 и старта x₀ = 1,4: x₁ = 1,4 + 0,04/2,8 ≈ 1,4143, затем x₂ ≈ 1,4142136; ошибка тает 1,4·10⁻² → 7,2·10⁻⁵ → ~2·10⁻⁹ — верные знаки удваиваются за шаг

Частые вопросы

Когда метод Ньютона расходится и как это предупредить?

Три ловушки: неудачный старт, выбрасывающий приближение из окрестности корня; почти горизонтальная касательная рядом с нулём производной, дающая гигантский шаг; немонотонные функции с перегибами, где траектория может зациклиться. Правило выбора старта — условие Фурье: берите конец отрезка, где знаки функции и второй производной совпадают, — итерации станут монотонными. У кратного корня метод сходится, но лишь линейно: скорость падает с удвоения знаков до деления ошибки примерно пополам.

Чем Ньютон лучше половинного деления и когда выгоднее она?

Бисекции нужны непрерывность и смена знака на отрезке — она сходится гарантированно, но линейно: один верный бит за итерацию, десятки шагов до высокой точности. Ньютон при хорошем старте даёт квадратичную сходимость: три-пять итераций до машинной точности. Обратная сторона: нужны производная и старт у корня. Стандартная схема: бисекцией локализуем корень, Ньютоном добиваем точность — так устроен метод Брента. Если же производная дорогая или недоступна, роль Ньютона берёт на себя метод секущих.