Квадратура Гаусса

Дегустация супа не требует съедания кастрюли: две правильно взятые ложки скажут о блюде больше, чем десяток случайных. Квадратура Гаусса выбирает ложки математически: и узлы, и веса подгоняются так, чтобы интеграл от многочлена степени $2n-1$ считался точно всего по $n$ точкам. Для сравнения: правило трапеций с теми же $n$ узлами точно лишь на прямых, а Симпсону нужны $n+1$ точка ради точности на кубиках. Узлы — корни полиномов Лежандра, все лежат внутри отрезка и сгущаются к краям, веса положительны — сумма ведёт себя прилично.

Минимальный случай, $n=2$: узлы $\pm 1/\sqrt{3}\approx \pm 0.5774$, веса по единице, и ${\int }_{-1}^{1}f\approx f(-0.5774)+f(0.5774)$. Проверка на $f=x^2$: точный интеграл $2/3$, приближение $1/3+1/3=2/3$ — точно. На $f=x^3$ — ноль и ноль. А вот $x^4$: точно $2/5=0.4$, Гаусс даёт $2/9\approx 0.222$ — ошибка появляется ровно на четвёртой степени, как и обещано порогом $2n-1=3$. Переход к произвольному отрезку — линейной заменой переменной. Полная техника — в уроке численное интегрирование, поведение на некрасивых функциях — в источниках погрешностей, навык на задачах — в тренажёре численных методов.