🔢 Численные методы

Кубический сплайн

англ. Cubic spline

Самая гладкая кривая через точки: на каждом промежутке свой кубик, склеенный с соседями по первой и второй производной; непрерывная кривизна без осцилляций высокого полинома.

До компьютеров чертёжники строили плавные кривые гибкой деревянной рейкой, прижатой грузиками к опорным точкам, — приспособление называлось сплайном. Рейка физически минимизирует энергию изгиба, и математика подтверждает: кубический сплайн — самая гладкая кривая через данные. Определение: на каждом промежутке между узлами свой многочлен третьей степени, в узлах значения совпадают с данными, а первая и вторая производные непрерывны на всём отрезке. Непрерывная вторая производная — это непрерывная кривизна: глазные изломы пропадают, кривая течёт, а не ломается.

Мини-пример: точки $(0, 0)$ , $(1, 1)$ , $(2, 0)$ с естественными краями $S^{''} = 0$ . Из системы для вторых производных выходит $M_{1} = - 3$ , и на первом отрезке сплайн $S (x) = - 0.5 x^{3} + 1.5 x$ : проверка $S (0) = 0$ , $S (1) = 1$ , вторая производная $- 3 x$ стыкуется с соседним кубиком без скачка. Правая половина симметрична: $S (x) = - 0.5 (2 - x)^{3} + 1.5 (2 - x)$ . Главное преимущество перед одним высоким полиномом — отсутствие осцилляций: сдвиг одной точки данных портит сплайн лишь поблизости, глобального бунта нет. Контраст с одним полиномом — в терминах интерполяционный полином, техника построения — в уроке интерполяция функций, выбор между точным проходом и сглаживанием — в сравнении интерполяция vs аппроксимация.

\frac{h}{6} (M_{i - 1} + 4 M_{i} + M_{i + 1}) = \frac{y _{i + 1} - 2 y _{i} + y _{i - 1}}{h}, M_{i} = S^{''} (x_{i})

система для вторых производных в узлах; для точек

(0, 0)

(1, 1)

(2, 0)

выходит

M_{1} = - 3

и сплайн

S (x) = - 0.5 x^{3} + 1.5 x

на первом отрезке

Частые вопросы

Почему именно кубики?

Это минимальная степень, дающая непрерывную кривизну: у квадратичной склейки вторая производная на стыках прыгает, и глаз видит излом. Четвёртая степень дала бы гладкость выше, но потребовала бы больше условий и чаще осциллирует. Кубик ещё и оптимален: среди всех дважды непрерывно дифференцируемых интерполянтов именно он минимизирует интеграл от квадрата второй производной — математику энергии рейки. Потому кубические сплайны — стандарт графики, таблиц и численных методов одновременно.

Что задают на краях сплайна?

Кубиков мало без условий на концах — система не замкнута. Естественный край ставит $S^{''} = 0$ : рейка свободно свисает. Заданный наклон фиксирует первую производную, если из физики задачи известен угол на границе. Условие not-a-knot убирает одно уравнение склейки третьих производных и не портит края вовсе. Влияет выбор в основном у границ, в середине данные перевешивают, но для таблиц с активными краями — скорости, цены, потоки — правильное условие решает.