🎲 Тервер

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена

англ. Spearman's rank correlation coefficient

Ранговая мера связи: коэффициент Спирмена показывает, насколько согласованы два порядка. Считается по формуле ρ = 1 − 6Σd²/(n(n²−1)) — нужны только места в рейтинге, а не сами значения.

В спортивных судействах, экспертных оценках и маркетинговых рейтингах числа — не измерения, а места: первое, второе, третье. Складывать их бессмысленно, и классический коэффициент Пирсона здесь не по адресу. Коэффициент ранговой корреляции Спирмена работает с порядком: каждому объекту присваивается ранг — номер позиции в отсортированном ряду, — а затем измеряется согласованность двух ранжировок: $ρ = 1 - 6 \sum d_{i}^{2} / (n (n^{2} - 1))$ , где $d_{i}$ — разность рангов одного объекта в двух рядах. Полное совпадение порядков даёт $ρ = 1$ , зеркальное — $ρ = - 1$ , хаотичное — около нуля. Метод незаменим на порядковых данных и там, где выбросы портят обычную корреляцию. Как ранги связаны с классической корреляцией — в уроке корреляция и регрессия.

Считаем: два эксперта расставили пять проектов по местам — $1, 2, 3, 4, 5$ и $2, 1, 4, 3, 5$ . Разности рангов: $- 1, 1, - 1, 1, 0$ , сумма квадратов $\sum d^{2} = 4$ . Тогда $ρ = 1 - 6 \cdot 4/ (5 \cdot 24) = 1 - 0, 2 = 0, 8$ — согласованность высокая, но не идеальная. Пороги значимости для малых $n$ берут из таблицы критических значений Спирмена, а при $n > 100$ работает t-проверка $t = ρ (n - 2) / (1 - ρ^{2})$ . Если два объекта делят одно место, каждому дают средний ранг: третье и четвёртое место при равенстве станут двумя $3, 5$ . Родство рангов с линейной мерой связи разобрано в термине коэффициент корреляции.

ρ = 1 - \frac{6 \sum _{i = 1}^{n} d _{i}^{2}}{n ( n ^{2} - 1 )}

ранговая корреляция Спирмена; d_i — разность рангов объекта в двух рядах, n — число объектов

Частые вопросы

Чем коэффициент Спирмена отличается от корреляции Пирсона?

Пирсон работает с самими значениями и ловит линейную связь; Спирмен — с рангами и ловит любую монотонную. Связь «чем больше x, тем больше y, но не по прямой» Пирсон занизит, а Спирмен покажет $ρ$ близко к единице. Выброс тоже влияет по-разному: одно аномальное наблюдение сдвигает Пирсона на десятые доли, а Спирмену важно лишь, что наблюдение всё равно первое или последнее по величине. При сильной линейной связи оба коэффициента близки, и тогда Пирсон информативнее.

Что делать, если ранги совпадают?

Присвоить связанным объектам средний ранг: если два результата делят третье и четвёртое места, каждому идёт $3, 5$ . Совпадения слегка искажают простую формулу, поэтому при многих связях считают Пирсона прямо на рангах — результат совпадает с поправленной версией Спирмена. Для $n \leq 9$ вывод о значимости делают по таблице критических значений, а не по приближениям: на малых выборках распределение $ρ$ далеко от нормального, и формулы-приближения обманывают.