♟️ Теория игр

Равновесие дрожащей руки

англ. Trembling hand perfect equilibrium

Уточнение равновесия Нэша по Селтену: профиль остаётся оптимальным, если с малой вероятностью рука дрогнет и любой ход случится хоть чуть-чуть.

Стрелок в тире: даже чемпион изредка дёргает палец, и расчётливый соперник учитывает не идеальный выстрел, а слегка размазанный. Равновесие дрожащей руки Селтена требует того же от игроков: профиль должен выдержать малую вероятность ошибки каждого участника — любой ход играется с хоть какой-то положительной вероятностью $ε$ . Равновесие, оптимальное только при безупречных партнёрах, отбраковывается: дрогнувшая рука выводит его из строя, и прогноз строится по более живучим профилям.

Проверка примером: в матрице с двумя равновесиями, $(D, R)$ и $(U, L)$ , пусть игрок 1 изредка дрожит в сторону $U$ с вероятностью $ε$ . Выигрыш игрока 2 от $R$ равен $2 - 2 ε$ , от $L$ — $2 + ε$ : при любом сколь угодно малом дрожании $L$ лучше, и пара $(D, R)$ , державшаяся на слабом предпочтении, рушится. Равновесие $(U, L)$ дрожание переживает. Вывод: избегать слабо доминируемых стратегий в равновесии; контекст форм — во введении в теорию игр, смеси и вероятности — в статье смешанная стратегия, базовое понятие — в равновесии Нэша, память игроков — в статье дерево игры.

σ_{i}^{*} \in ar g σ_{i} max u_{i} (σ_{i}, σ_{- i}^{k}), σ_{- i}^{k} (s_{j}) \geq ε_{k} > 0, ε_{k} \to 0

совершенность по дрожащей руке: стратегия

σ_{i}^{*}

остаётся лучшим ответом в последовательности возмущённых игр, где каждый соперник играет любую свою стратегию с вероятностью не меньше

ε_{k}

Частые вопросы

Зачем моделировать ошибки, если игроки рациональны?

Чтобы отсеять равновесия, живущие на тонкой льдине. Профиль может быть равновесием лишь потому, что до некоторой ветви дело никогда не доходит, и оптимальность там никто не проверяет. Дрожание заставляет каждую ветвь побывать реализованной с малой вероятностью, и все проверки становятся реальными. Итог строгий: выживают профили, устойчивые к мелким случайностям, — они предсказуемее в шумном мире, где идеальное исполнение решений недостижимо.

Как дрожащая рука связана с полной памятью игроков?

Напрямую. В играх с полной памятью — игрок помнит всё, что видел и делал, — совершенность по дрожащей руке совпадает с требованием оптимальности в каждом информационном множестве и не допускает веры в невероятные события. Без памяти о собственных прошлых ходах связь ломается: игрок может «забыть», что ошибся, и дрожание перестаёт дисциплинировать его планы. Поэтому уточнение формулируют осторожно, оговаривая структуру информации.