Цена игры
англ. Value of the game
Средний выигрыш A при оптимальной игре обеих сторон: $v$; лежит между нижней ценой $\alpha$ и верхней $\beta$, в седле совпадает с ними.
Цена игры — то среднее, которое A гарантирует себе, а B ограничивает сверху, когда оба играют оптимально. В чистых стратегиях она существует при седловой точке и равна совпавшим ценам: . В общем случае — по теореме фон Неймана: , где и — смешанные стратегии. Всегда выполняется цепочка .
Для осторожные цены равны и , а оптимальные смеси дают — посредине. Единицы цены — те же, что в матрице: рубли, очки, годы. Сдвиг всех элементов на константу сдвигает и цену: превращается в , стратегии не меняются — так уводят матрицу в положительные числа. Как цена возникает при смешивании — в уроке смешанные стратегии, осторожные оценки — в материале игры с чистыми стратегиями.
Частые вопросы
Почему цена игры лежит между и ?
Нижняя цена — гарантия A при чистых стратегиях, верхняя — потолок, который ставит B. Смешивание только улучшает гарантию A, но не выше того, что B сумеет удержать: оптимальные смеси стягивают обе оценки к одной точке . Отсюда цепочка : цена не бывает ниже осторожной гарантии и выше осторожного потолка, при седле все три числа сливаются.
Что делать, если цена игры отрицательная?
Ничего страшного: знак означает, что при разумной игре обеих сторон перевес на стороне B — например, по годам заключения в дилемме. Для удобства матрицу сдвигают: прибавив ко всем элементам константу , получаем новую цену при тех же оптимальных стратегиях. Поэтому отрицательность — свойство калибровки выигрышей, а не запрет на решение игры.