♟️ Теория игр

Равновесие Нэша

англ. Nash equilibrium

Профиль стратегий, от которого ни одному игроку не выгодно отклоняться в одиночку; в конечных играх существует в смешанных стратегиях.

Равновесие Нэша — набор стратегий $s^{*} = (s_{1}^{*}, \dots, s_{n}^{*})$ , при котором ни одному игроку не выгодно отклоняться в одиночку, пока остальные держатся равновесия: выигрыш от одностороннего отступления не растёт. Это устойчивость, а не справедливость: равновесный исход может быть плохим для всех, как в дилемме заключённого. В антагонистической матричной игре равновесие Нэша — в точности седловая точка: пара максиминной и минимаксной стратегий.

Проверка на дилемме: если B сознаётся, A сравнивает $- 10$ за молчание и $- 8$ за признание — отклонение невыгодно; для B симметрично. Теорема Нэша: всякая конечная игра с любым числом игроков имеет равновесие в смешанных стратегиях — доказательство опирается на неподвижную точку Какутани. Равновесий может быть несколько, и тогда встаёт вопрос координации. Введение с примерами — в уроке введение в теорию игр, антагонистический случай — в материале игры с чистыми стратегиями.

u_{i} (s_{i}^{*}, s_{- i}^{*}) \geq u_{i} (s_{i}, s_{- i}^{*}) \forall s_{i}, \forall i

определение равновесия Нэша: одностороннее отклонение игрока

i

не увеличивает его выигрыш;

s_{- i}

— стратегии всех остальных игроков

Частые вопросы

Чем равновесие Нэша отличается от оптимума Парето?

Это свойства разных слоёв. Равновесие — про устойчивость: от исхода никому не хочется уходить в одиночку. Оптимум Парето — про эффективность: исход нельзя улучшить для одного, не ухудшив для другого. В дилемме заключённого равновесие «сознаются» не оптимально по Парето — молчание лучше обоим; а кооперативный исход не устойчив — каждому хочется предать первым. Совпадают эти свойства далеко не всегда.

Всегда ли равновесие Нэша существует?

В конечных играх — да, в смешанных стратегиях: это теорема Нэша 1950 года, полученная через неподвижную точку. В чистых стратегиях равновесия может не быть: в орлянке любой фиксированный выбор разгадывается, и устойчивость появляется только при случайном смешивании с вероятностями $1/2$ . Для бесконечных игр нужны дополнительные условия — компактность множеств стратегий и непрерывность выигрышей.