Число обусловленности матрицы

Микрофон, который усиливает всё подряд, превращает шёпот докладчика в гул: сигнал слышен, но вместе с ним — стулья, вентиляция, шаги в коридоре. Матрица с большим числом обусловленности работает так же. Для системы $Ax=b$ полагают $\kappa (A)=\Vert A\Vert \cdot \Vert A^{-1}\Vert$: во сколько раз относительная ошибка правой части может вырасти в решении. У симметричной матрицы в спектральной норме это отношение крайних собственных значений ${\lambda }_{\max }/{\lambda }_{\min }$. Всегда $\kappa \ge 1$; идеал — единичная матрица, она ничего не усиливает. Общая постановка без матриц — в термине обусловленность задачи.

Живой пример: матрица со строками $(1,1)$ и $(1,1.0001)$ имеет $\kappa$ около $4\cdot 10^4$. Сдвиньте второй элемент правой части с $2$ до $2.0001$ — относительное возмущение в пять стотысячных — и решение переползёт с $(2,0)$ на $(1,1)$: реакция в тысячи раз сильнее причины. Гильбертова матрица $3\times 3$ даёт ${\kappa }_2\approx 524$ — потеря около $2.7$ верных знаков из шестнадцати машинных. Правило счёта: $\kappa \sim 10^k$ съедает $k$ знаков. Крайние собственные значения для спектральной формы ищут численно — в уроке собственные значения: численные методы, сами системы — в материале численные методы СЛАУ.