♟️ Теория игр

Байесовские игры (игры с неполной информацией)

англ. Bayesian games

Игры с неполной информацией: игроки не знают типы соперников и действуют с убеждениями, обновляемыми по формуле Байеса; равновесие считается по ожиданиям.

Аукцион eBay: вы видите лот и чужие ставки, но не видите, сколько лот стоит соперникам, — их оценки скрыты. Это байесовская игра, или игра с неполной информацией: участники различаются типами — скрытыми выигрышами или возможностями, — а вместо точного знания держат убеждения о распределении типов. Ход «природы» раздаёт типы по известным вероятностям $p (θ)$ , дальше каждый действует по своему типу, догадываясь о типах остальных. Покер, торги, вход на рынок с незнакомым конкурентом — всё отсюда.

Решение — байесовское равновесие Нэша: стратегии зависят от собственного типа, и отклонение невыгодно в среднем по типам соперников. Мини-пример со входом на рынок: новичок сталкивается с сильным конкурентом с вероятностью $p$ ; против слабого вход даёт $+ 3$ , против сильного $- 2$ , ожидание $3 - 5 p$ положительно лишь при $p \leq 0, 6$ . Обновление убеждений по наблюдаемым действиям — формула Байеса; механизм — в уроке формула Байеса, правило — в статье формула Байеса, апостериорные вероятности — в статье условная вероятность, базовое понятие устойчивости — в равновесии Нэша, скрытые ходы — в статье дерево игры.

U_{i} (σ) = θ \in Θ \sum p (θ) u_{i} (σ_{i} (θ_{i}), σ_{- i}, θ), E_{вход} = 3 - 5 p \geq 0 \Leftrightarrow p \leq 0, 6

ожидаемый выигрыш усредняется по типам

θ

с весами

p (θ)

; во входе на рынок порог убеждений

p = 0, 6

отделяет выгодный вход от невыгодного

Частые вопросы

Чем неполная информация отличается от несовершенной?

Слоем неведения. Несовершенная информация — это ненаблюдаемые ходы внутри известной игры: скрытая карта или бросок кости, а правила и выплаты известны точно. Неполная информация глубже: неизвестен тип соперника, то есть его функции выигрыша или возможности. Стандартный приём Харшаньи превращает неполную в несовершенную: природа первой раздаёт типы, и дальше игроки не видят чужой раздачи, хотя распределение типов знают.

Как игроки формируют убеждения о типах соперника?

Двумя источниками. До игры — известное распределение типов, заданное в модели: доли сильных и слабых конкурентов на рынке. По ходу — обновление по формуле Байеса: наблюдая действия партнёра, игрок пересчитывает апостериорные вероятности его типов, ведь разные типы ведут себя по-разному. В равновесии убеждения согласованы со стратегиями: ожидаемое поведение совпадает с тем, что стратегия действительно предписывает, и уточнять догадки не приходится.