Ряд Тейлора: разложение функции и область сходимости

Калькулятор вычисляет $\sin 0,3$ не через синус, а через многочлен: $0,3-\frac{0,3^3}{6}+\frac{0,3^5}{120}\approx 0,295520$ — шесть верных знаков после запятой. За этим стоит ряд Тейлора: гладкая функция раскладывается в бесконечный степенной ряд, собранный из её производных в одной точке. Контрольный вопрос «разложите функцию в ряд Тейлора» распадается на два: собрать коэффициенты и честно указать область сходимости — без второй части ответ неполный, потому что за пределами области разложение теряет силу.

Полная теория с остаточным членом — в уроке формула Тейлора; степенные ряды как класс — в уроке степенные ряды; краткая выжимка — в термине ряд Тейлора. Здесь — практическая механика: шесть стандартных разложений, радиус сходимости по коэффициентам, три примера и знаменитый контрпример, где ряд сходится, но не к функции. Общая карта признаков — в гайде как исследовать сходимость ряда.

Определение: производные становятся коэффициентами#

Устройство прозрачно: $n$-й коэффициент — это $n$-я производная в точке разложения, делённая на $n!$. Факториал не украшение, а нормировка: без него производные высоких порядков взрывались бы и ряд не собирался. Смысл результата грандиозен: знание поведения функции в одной точке восстанавливает её в целой окрестности. Ряд Тейлора — степенной ряд, и вся механика радиуса и концов из темы интервала сходимости применима к нему без изменений.

Как вывести разложение ln(1+x)

Разберём механику на логарифме. Производные циклятся: $f^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x}$, $f^{\prime \prime }(x)=-\frac{1}{(1+x{)}^2}$, $f^{\prime \prime \prime }(x)=\frac{2}{(1+x{)}^3}$, $f^{(4)}(x)=-\frac{6}{(1+x{)}^4}$ — общая закономерность $f^{(n)}(x)=(-1{)}^{n-1}\frac{(n-1)!}{(1+x{)}^n}$. В точке нуль остаётся $f^{(n)}(0)=(-1{)}^{n-1}(n-1)!$, и после деления на $n!$ коэффициенты превращаются в $\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}$. Ряд собран: $x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\dots$ Осталось найти, где он работает, — этим займёмся в примере 1.

Область сходимости: радиус и проверка концов#

Коэффициенты $c_n=\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$ образуют степенной ряд, и радиус ищется привычно: $R=\lim \left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|$, внутри интервала сходимость абсолютная, концы проверяются подстановкой. У экспоненты, синуса и косинуса предел отношения коэффициентов бесконечен — разложения живут на всей оси. У логарифма радиус равен единице, и концы асимметричны: $x=1$ сходится по Лейбницу и даёт $\ln 2$, $x=-1$ расходится гармонически. У $\frac{1}{1-x}$ радиус тоже единица, но оба конца отброшены.

Как разложить: алгоритм пяти шагов#

1. 1
   Найдите производные $f^{(n)}(x)$, пока не проявится закономерность, и посчитайте их в точке $a$.
2. 2
   Соберите коэффициенты $c_n=\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$ и запишите ряд $\sum c_n(x-a{)}^n$.
3. 3
   Посчитайте радиус $R=\lim \left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|$ — та же формула, что для любого степенного ряда.
4. 4
   Проверьте концы подстановкой: Лейбниц для чередования, сравнение или интегральный признак для положительных.
5. 5
   Убедитесь, что ряд сходится именно к функции: для стандартных разложений остаточный член в форме Лагранжа $|f(x)-T_N(x)|\le \frac{M|x-a{|}^{N+1}}{(N+1)!}$ стремится к нулю.

Пример 1. ln(1+x): радиус единица и сюрприз на конце#

Коэффициенты получены выше; остаётся область сходимости — и здесь самая поучительная часть примера.

1. 1
   Коэффициенты: $c_n=\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}$, ряд $x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\dots$
2. 2
   Радиус: $\left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|=\frac{n+1}{n}\to 1$ — интервал $(-1;1)$.
3. 3
   Конец $x=1$: ряд $\sum \frac{(-1{)}^{n-1}}{n}$ сходится по Лейбницу, и сумма его — $\ln 2$: подстановка законна.
4. 4
   Конец $x=-1$: ряд $-\sum \frac{1}{n}$ — гармонический, расходится.
5. 5
   Итог: $\ln (1+x)=\sum \frac{(-1{)}^{n-1}{x}^n}{n}$ при $x\in (-1;1]$ — асимметричный интервал: правый конец включён, левый отброшен.

Пример 2. 1/(2−x): радиус по особой точке#

Разложение без единой производной — через геометрическую прогрессию: приём экономит страницу выкладок и заодно показывает, откуда берётся радиус.

1. 1
   Перепишите: $\frac{1}{2-x}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1-x/2}=\frac{1}{2}\sum {\left(\frac{x}{2}\right)}^n=\sum \frac{x^n}{2^{n+1}}$.
2. 2
   Радиус: отношение коэффициентов $\frac{2^{n+2}}{2^{n+1}}=2$ — интервал $(-2;2)$.
3. 3
   Концы $x=\pm 2$: члены $\frac{(\pm 2{)}^n}{2^{n+1}}=\frac{(\pm 1{)}^n}{2}$ не стремятся к нулю — оба конца расходятся.
4. 4
   Итог: $\sum \frac{x^n}{2^{n+1}}=\frac{1}{2-x}$ при $|x|<2$.
5. 5
   Сверка с картой особых точек: полюс в $x=2$ — ближайшая особенность, радиус ровно 2. Производные дали бы то же: $f^{(n)}(x)=\frac{n!}{(2-x{)}^{n+1}}$, в нуле $\frac{n!}{2^{n+1}}$.

Пример 3. e^{2x}: композиция вместо производных#

Если функция — композиция со стандартной, разложение можно достать подстановкой, не дифференцируя ничего.

1. 1
   Подставьте $u=2x$ в разложение $e^u=\sum \frac{u^n}{n!}$: получится $\sum \frac{(2x{)}^n}{n!}=\sum \frac{2^n{x}^n}{n!}$.
2. 2
   Радиус: $\left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|=\frac{n+1}{2}\to \infty$ — ряд сходится на всей оси, концов нет.
3. 3
   Проверка суммой: при $x=\frac{1}{2}$ ряд превращается в $\sum \frac{1}{n!}$ — его сумма ровно $e$.
4. 4
   Правило композиции: разложение $e^u$ честно при любом $u$, значит и при $u=2x$ — радиус бесконечен.
5. 5
   Производные подтвердили бы: $f^{(n)}(x)=2^n{e}^{2x}$, в нуле $2^n$ — коэффициенты $\frac{2^n}{n!}$, тот же ряд.

Когда ряд сходится, но не к функции#

Контрпример, о котором стоит знать: $f(x)=e^{-1/x^2}$ при $x\ne 0$ и $f(0)=0$. Функция бесконечно дифференцируема, и все её производные в нуле равны нулю — ряд Маклорена тождественный ноль, сходится на всей оси и равен функции только в одной точке. Формально всё построено правильно, а разложение «не работает» нигде, кроме центра. Мораль: сходимость ряда Тейлора к функции — отдельное утверждение, а не автоматическое следствие сходимости.

Рабочий контроль — остаточный член в форме Лагранжа: $|f(x)-T_N(x)|=\left|\frac{f^{(N+1)}(\xi )}{(N+1)!}\right||x-a{|}^{N+1}$ для некоторой точки $\xi$ между $a$ и $x$. Если производные ограничены константой $M$, ошибка не больше $\frac{M|x-a{|}^{N+1}}{(N+1)!}$ — факториал в знаменателе давит любую степень, и для $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ оценка закрывает всю ось. Полный разбор — в уроке формула Тейлора.

Типичные грабли#

• Записали ряд без области сходимости: ответ неполный, интервал ищет преподаватель глазами.
• Забыли $n!$ в коэффициентах: производные высоких порядков без нормировки ряд не собирают.
• Не проверили концы: у $\ln (1+x)$ правый конец включён, у $\frac{1}{1-x}$ оба отброшены — без проверки не угадать.
• Решили, что сходимость ряда означает сходимость к функции: контрпример с $e^{-1/x^2}$ показывает разницу.
• Путали центр разложения: ряд вокруг $a$ живёт в $|x-a|<R$, а не в $|x|<R$.
• Применяли табличное разложение за пределами его области: $\frac{1}{1-x}=\sum x^n$ работает только при $|x|<1$, а не везде.

Куда идти дальше#

Радиус, концы и абсолютная сходимость внутри интервала — общая база со страницей интервала и радиуса сходимости; чередование на границе — территория признака Лейбница и страницы условной сходимости. Ряды Фурье — родственные разложения по синусам и косинусам — разобраны в уроке ряды Фурье.

Закрепить — в тренажёре по рядам и задачнике ряды; формулы — в шпаргалке по рядам; пошаговое исследование конкретного ряда — решатель рядов.