Гармонический ряд: сходимость, обобщённый гармонический ряд

Гармонический ряд $\sum \frac{1}{n}$ — самый знаменитый расходящийся ряд матанализа. Его члены стремятся к нулю, каждый следующий меньше предыдущего, никакой факториал или степенная башня не мешает — а сумма всё равно уходит на бесконечность. Расходимость медленная и коварная: чтобы набрать сумму 10, нужно около 12 367 слагаемых, а чтобы добраться до 20 — около 272 миллионов. Интуиция «тающие члены — сходящаяся сумма» ломается здесь публично, поэтому гармонический ряд — эталон, с которым сравнивают все медленные ряды, и обязательная остановка любого исследования сходимости.

Ряд как объект — в уроке числовые ряды и термине ряд; строгий вывод через интеграл — на странице интегрального признака. Здесь — гармонический ряд целиком: доказательство Орема, связь с логарифмом, обобщённый гармонический ряд $\sum \frac{1}{n^p}$ и родственники, судьба которых меняется от одной степени или одного знака. Полное дерево признаков — в гайде как исследовать сходимость ряда.

Почему гармонический ряд расходится: доказательство Орема#

Доказательство Николя Орема (XIV век) — образец экономии: ни одного предела, одна группировка. Сгруппируйте члены по степеням двойки: каждая группа начинается с $\frac{1}{2^k+1}$ и заканчивается $\frac{1}{2^{k+1}}$. В группе $2^k$ членов, и каждый не меньше $\frac{1}{2^{k+1}}$, значит, вся группа весит больше $\frac{1}{2}$. Частичные суммы по двойкам прирастают минимум на половину — предела у них нет, ряд расходится. Позднее Пьетро Менголи и Иоганн Бернулли дали строгие версии, а сводка $p$-рядов выросла из той же логики.

Второй взгляд — через интеграл: площадь под $\frac{1}{x}$ от единицы до $b$ равна $\ln b$, и логарифм не имеет потолка. Ступеньки высоты $\frac{1}{n}$ накрывают кривую, поэтому частичные суммы $H_n$ догоняют $\ln n$ с постоянным отставанием. Полная выкладка — на странице интегрального признака, а двойная жизнь ряда и площади разобрана в сравнении ряд против интеграла.

Обобщённый гармонический ряд: водораздел по p#

Ряды $\sum \frac{1}{n^p}$ называют обобщёнными гармоническими, или $p$-рядами. Это главная эталонная семья кластера: предельный признак сравнения меряет почти любой ряд относительно неё. Сводка умещается в одну строку: $p>1$ — сходится, $p\le 1$ — расходится. Водораздел проходит строго по единице: $p=1,1$ уже сходится, хоть члены и тают едва заметно, а $p=0,9$ расходится, хоть и выглядит почти гармоническим.

1. 1
   Сравните $p$ с единицей: $p>1$ — сходится, $p\le 1$ — расходится; при $p=1$ это сам гармонический ряд.
2. 2
   Для произвольного ряда используйте предельный признак сравнения: эталон $\frac{1}{n^p}$ подбирается по старшим степеням.
3. 3
   Помните точные суммы: $\sum \frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$ (Эйлер, 1735) и $\sum \frac{1}{n^4}=\frac{{\pi }^4}{90}$ — пригодятся в задачах на ряды.
4. 4
   При $p<1$ расходимость агрессивнее: $\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$ растёт как $2\sqrt{N}$ без всякого предела.
5. 5
   Ряд обратных квадратов $\sum \frac{1}{n^2}$ — самый цитируемый сходящийся ряд: он появляется в остатках формулы Тейлора и в оценках алгоритмов.

Родственники: один знак или одна степень меняют судьбу#

Гармоническая семья живёт на острие. Уберите чётные члены — ряд обратных нечётных $\sum \frac{1}{2n-1}$ всё равно расходится: каждый его член не меньше $\frac{1}{2n}$, а укороченный гармонический ряд расходится с той же логарифмической скоростью. Возьмите члены ещё реже, через $10n$, — расходимость сохранится: логарифм в асимптотике лишь растянется константой. Степень $p=2$ — и ряд уже сходится; знакопеременный ряд — и снова сходимость. Каждая строка таблицы ниже — готовый пример для контрольной.

Отдельный сюжет — знакочередующийся родственник $\sum \frac{(-1{)}^{n-1}}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\dots$ По Лейбницу он сходится, и сумма его — $\ln 2$. Но модули тождественно гармоническому ряду, значит, сходимость условная: сумма держится на балансе знаков, и по теореме Римана перестановка членов может её разрушить. Двухходовка и выводы — на страницах условной сходимости и признака Лейбница.

Где гармонический ряд встречается#

Имя ряду дали пифагорейцы: длины струн $1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\dots$ дают гармоничные музыкальные интервалы, а член $\frac{1}{n}$ — среднее гармоническое соседей $\frac{1}{n-1}$ и $\frac{1}{n+1}$. Числа $H_n$ — не только контрпример. В задаче о коллекционере купонов, чтобы собрать все $N$ вариантов, нужно в среднем $N\cdot H_N$ попыток: для шести сторон кубика — около 14,7 броска. В анализе алгоритмов гармонические числа оценивают среднее число сравнений быстрой сортировки; в теории вероятностей они появляются в ожиданиях повторных испытаний. Логарифмическая скорость — рабочая величина, а не курьёз.

Типичные грабли#

• Объявили ряд сходящимся, потому что члены тают: у гармонического члены тают, а сумма бесконечна.
• Применяли Даламбера или радикальный Коши: оба дают $\rho =1$ и молчат — нужны сравнение, интеграл или группировка.
• Решили, что удаление части членов спасает: ряд обратных нечётных расходится так же, как полный.
• Перепутали $\sum \frac{1}{n^p}$ и $\sum \frac{1}{p^n}$: первый — обобщённый гармонический, второй — геометрический; у них разные судьбы и разные формулы.
• Округлили $p=1,1$ до «примерно единицы»: водораздел строгий, $p=1,1$ уже сходится.
• Приписали гармоническому ряду сумму: у расходящегося ряда суммы нет; число γ — это предел разности $H_n-\ln n$, а не сумма.

Куда идти дальше#

Строгая сводка $p$-рядов и рядов с логарифмами выводится интегральным признаком; сравнение произвольного ряда с $\frac{1}{n^p}$ — главный сценарий предельного признака сравнения. Несобственные интегралы как инструмент — в уроке несобственные интегралы; частичные суммы и их пределы — в уроке предел последовательности.

Закрепить — в тренажёре по рядам и задачнике ряды; формулы кластера — в шпаргалке по рядам; пошаговое исследование конкретного ряда — решатель рядов.