♟️ Теория игр

Парето-эффективность

англ. Pareto efficiency

Состояние, из которого нельзя улучшить положение ни одного участника, не ухудшив другого: множество несравнимых между собой оптимумов; равновесие Нэша может быть неэффективным.

Каждому стало лучше — или хотя бы никому не хуже, а кому-то лучше: так выглядит бесплатное улучшение. Парето-эффективность — свойство исхода, из которого таких улучшений больше нет: сдвинуться к лучшему для кого-то можно только за счёт другого. Исход $x$ доминирует по Парето исход $y$ , если всем игрокам $x$ не хуже, а хотя бы одному строго лучше; недоминируемые исходы называют Парето-оптимальными. Оптимумов обычно много, и они попарно несравнимы: делёж пирога «поровну» и «всё — тебе, ничего — мне» никто друг друга не доминирует. Свойство ничего не говорит о справедливости распределения — только об отсутствии бесплатных улучшений. Сравните с равновесием Нэша: там устойчивость против односторонних отклонений, совсем другая идея о стабильности.

Классический разлад двух понятий — дилемма заключённого: единственное равновесие Нэша «признавать обоим» с выигрышами $(- 5, - 5)$ Парето-доминируется исходом «молчать обоим» $(- 1, - 1)$ : обоим было бы лучше, но каждый в одиночку отклониться не рискнёт — заведомо лучший для обоих исход недостижим поодиночке. Отсюда главный вывод теории игр: индивидуальная рациональность не гарантирует коллективной эффективности, а кооперация и повторение игры — пути выхода из неэффективного равновесия; экономисты зовут такие провалы провалами координации. Механизм ловушки разобран в статье дилемма заключённого, а как выбирают исход, когда интересов много и они лишь частично противоположны, — в уроке критерии принятия решений.

x ≻_{P} y ⟺ \forall i u_{i} (x) \geq u_{i} (y) и \exists j : u_{j} (x) > u_{j} (y)

доминирование по Парето: всем не хуже и хотя бы одному строго лучше; для

(- 1, - 1)

против

(- 5, - 5)

обе компоненты выше у первого — он Парето-лучше; исходы

(6, 4)

(4, 6)

несравнимы, оба Парето-оптимальны

Частые вопросы

Чем Парето-эффективность отличается от равновесия Нэша?

Это условия устойчивости из разных миров. Равновесие Нэша — про интересы по отдельности: никому не выгодно отклоняться в одиночку, зная, что остальные стоят на месте. Парето-эффективность — про коллектив: не существует исхода, улучшающего всех или одного без ущерба другим. Равновесие может быть неэффективным, как в дилемме заключённого, а Парето-оптимальный исход — неустойчивым, как договор о молчании, когда каждому соблазнительно его нарушить. Совпадают они лишь в особых играх.

Почему Парето-оптимальных исходов обычно много?

Потому что критерий запрещает только бесплатные улучшения и ничего не говорит о распределении выигрыша. Всякий делёж пирога без остатка оптимален: увеличить кусок одного можно лишь за счёт другого. Поэтому вместо одного ответа теория даёт целую границу оптимальных исходов, и выбор на ней — вопрос переговоров или внешнего критерия справедливости. В экономике так устроен ящик Эджворта: его контрактная кривая сплошь из Парето-оптимальных точек.