Метод секущих

Ньютону нужна производная, а она не всегда доступна: функция может задаваться дорогим моделированием, таблицей измерений или чужим кодом без аналитического описания. Метод секущих снимает это ограничение: производная заменяется разностным отношением по двум последним приближениям, а касательная — секущей через точки $(x_{n-1},f(x_{n-1}))$ и $(x_n,f(x_n))$. Пересечение этой прямой с осью абсцисс даёт следующее приближение. Заметьте: за одну итерацию вычисляется лишь одно новое значение функции — предыдущее уже известно, тогда как метод Ньютона на каждом шаге требует и $f$, и $f^{\prime }$. Это делает секущие выгодными, когда каждое вычисление $f$ дорого. Механика метода и его место среди приёмов — в уроке решение нелинейных уравнений; общая рамка любых повторяющихся пересчётов описана в термине итерационный метод.

Сходимость у секущих сверхлинейная: порядок равен золотому сечению $(1+\sqrt{5})/2\approx 1,618$ — медленнее ньютоновской квадратичной, но быстрее любой линейной. Учёт стоимости показывает, что гонка не всегда за Ньютоном: если вычисление $f$ стоит столько же, сколько $f^{\prime }$, или дороже, секущие за то же число вызовов функции дают больше верных знаков. Опасность одна, но серьёзная: знаменатель формулы — разность $f(x_n)-f(x_{n-1})$ — при сближении приближений стремится к нулю, и шаг может взорваться. Поэтому следят и за невязкой, и за приращением аргумента, а при признаках вырождения откатываются к гарантированной бисекции. Критерий останова обычно берут по относительной величине шага — тот же принцип, что у метода простой итерации; как тают ошибки и что такое порядок сходимости, разобрано в термине порядок сходимости.