🔢 Численные методы

Интерполяция Лагранжа

Q: Интерполяция и аппроксимация — в чём разница?

Интерполяция требует точного прохождения через узлы: $L(x_i) = y_i$. Аппроксимация (например, метод наименьших квадратов) лишь минимизирует суммарное отклонение. Для зашумлённых данных интерполяция воспроизводит шум и осциллирует между узлами — тогда предпочитают сглаживание.

англ. Lagrange interpolation

Построение многочлена степени ≤ n, проходящего через n+1 заданную точку, через базисные полиномы; формула L(x) = Σ yᵢ·ℓᵢ(x) записывается сразу в готовом виде.

Интерполяция Лагранжа — способ восстановить многочлен, проходящий через заданные точки: по $n + 1$ узлу $(x_{i}, y_{i})$ с различными $x_{i}$ строится многочлен степени не выше $n$ . Формула Лагранжа собирает его из базисных полиномов, каждый из которых равен единице в «своём» узле и нулю во всех остальных — поэтому ответ записывается сразу, без решения системы уравнений.

Базис $ℓ_{i} (x) = \prod_{j \neq = i} \frac{x - x _{j}}{x _{i} - x _{j}}$ обеспечивает оба условия автоматически, и $L (x) = \sum y_{i} ℓ_{i} (x)$ проходит через все узлы. Для точек $(0, 1)$ , $(1, 2)$ , $(2, 5)$ получается $L (x) = x^{2} + 1$ — подстановка подтверждает все три значения. Существование и единственность такого многочлена гарантирует теория интерполяционного полинома; вычислять значения готового интерполянта быстрее всего схемой Горнера.

L (x) = i = 0 \sum n y_{i} j \neq = i \prod \frac{x - x _{j}}{x _{i} - x _{j}}; (0, 1), (1, 2), (2, 5) : L (x) = x^{2} + 1

общая формула и пример с проверкой по всем узлам

Проверь себя+10 XP

Какова степень многочлена Лагранжа, построенного по 5 точкам?

Частые вопросы

Интерполяция и аппроксимация — в чём разница?

Интерполяция требует точного прохождения через узлы: $L (x_{i}) = y_{i}$ . Аппроксимация (например, метод наименьших квадратов) лишь минимизирует суммарное отклонение. Для зашумлённых данных интерполяция воспроизводит шум и осциллирует между узлами — тогда предпочитают сглаживание.

Почему при большом числе узлов интерполяция «плохая»?

На равномерных узлах возникает осцилляция Рунге: у краёв отрезка интерполянт расходится всё сильнее (классический пример — $1/ (1 + 25 x^{2})$ на $[- 1; 1]$ ). Лечение: узлы Чебышёва, кусочная интерполяция сплайнами или отказ от точного прохождения через узлы.