Диаграмма Эйлера—Венна
англ. Euler–Venn diagram
Изображение множеств кругами внутри прямоугольника-универсума: объединение, пересечение, разность и дополнение читаются прямо с картинки.
Диаграмма Эйлера—Венна — картинка, на которой множества рисуются кругами или замкнутыми областями внутри прямоугольника-«универсума». Всё внутри круга принадлежит множеству, пересечение кругов — общая зона, объединение — весь закрашенный контур, а дополнение — то, что осталось за пределами. Такая картинка за секунду отвечает на вопросы, для которых иначе пришлось бы возиться с алгеброй: где , где , куда попадает . Базовые операции над множествами и их свойства разобраны в уроке множества и операции.
Типовая задача: в группе человек, играют в шахматы, — в шашки, играют в обе игры. Два круга пересекаются, в общей зоне стоит ; тогда только в шахматы играют , только в шашки — , оба круга накрывают человек, и двое ни во что не играют. Осталось заметить: — это формула включений-исключений, которую диаграмма делает наглядно очевидной. Для трёх множеств зон становится восемь, но принцип подписывания каждой области числом не меняется.
Частые вопросы
Чем диаграммы Эйлера отличаются от диаграмм Венна?
В диаграмме Венна заранее рисуют все возможные пересечения фиксированного набора кругов — даже заведомо пустые зоны, картинка строго стандартна. Диаграмма Эйлера подстраивается под данные: пустые области опускаются, круги могут вкладываться друг в друга. Для двух-трёх множеств разница малозаметна, а на больших наборах эйлеровы диаграммы остаются читаемыми, венновские превращаются в мозаику.
Как решать задачи с кругами Эйлера, если данных не хватает?
Ввести переменную для неизвестной зоны и составлять уравнения. Практика такая: подписать каждую область числом, начиная с самого глубокого пересечения, а затем идти от краёв — сумма чисел внутри каждого множества обязана равняться его мощности. Если данных всё равно мало, получится диапазон значений вместо точного ответа. Тренировка с тремя множествами — в уроке множества и операции.