🔀 Дискретка

Диофантово уравнение

Q: Причём тут великая теорема Ферма?

Это диофантово уравнение $x^n + y^n = z^n$: при $n \ge 3$ натуральных решений нет. Гипотеза прожила 358 лет и была доказана Уайлсом через эллиптические кривые — классический пример «школьной на вид» задачи, породившей глубокую математику.

англ. Diophantine equation

Алгебраическое уравнение, которое решают только в целых числах: ax + by = c разрешимо тогда и только тогда, когда gcd(a, b) делит c.

Диофантово уравнение — алгебраическое уравнение, для которого ищутся решения только в целых (или рациональных) числах. Названо по имени Диофанта Александрийского (III век), чья «Арифметика» — первый сборник таких задач; на полях именно её издания Ферма записал свою великую теорему. Простейший случай — линейное уравнение $a x + b y = c$ : в отличие от обычного уравнения с континуумом решений, здесь вопрос стоит «есть ли хоть одно целое решение, и сколько их».

Линейный случай решается алгоритмом Евклида: расширенный алгоритм даёт частное решение, а общее получается сдвигами $x = x_{0} + b t$ , $y = y_{0} - a t$ . Пример: $4 x + 7 y = 2$ — из тождества $2 \cdot 4 - 7 = 1$ , умноженного на два, берём $x = 4$ , $y = - 2$ , и все решения: $x = 4 + 7 t$ , $y = - 2 - 4 t$ . Высшие степени устроены драматичнее: уравнение Пелля $x^{2} - N y^{2} = 1$ имеет бесконечно много решений, уравнение Ферма $x^{n} + y^{n} = z^{n}$ при $n \geq 3$ — ни одного натурального, а десятая проблема Гильберта о разрешимости в общем случае алгоритмически неразрешима (Матиясевич, 1970). Связь с арифметикой остатков — через проверки делимости и малую теорему Ферма.

a x + b y = c разрешимо в целых ⟺ g cd (a, b) ∣ c; 4 x + 7 y = 2 : x = 4 + 7 t, y = - 2 - 4 t; x^{2} + y^{2} = z^{2} (пифагоровы тройки)

критерий разрешимости, пример и классика высших степеней

Проверь себя+10 XP

Сколько решений в целых числах имеет уравнение $6 x + 9 y = 5$ ?

Частые вопросы

Чем диофантово уравнение отличается от обычного?

Обычное уравнение решают в действительных числах, и ответ — непрерывное множество. Диофантово требует целочисленности: решений может не быть вовсе, быть конечное число или бесконечно много, а иногда (десятая проблема Гильберта) даже сам факт разрешимости невычислим никаким алгоритмом.

Причём тут великая теорема Ферма?

Это диофантово уравнение $x^{n} + y^{n} = z^{n}$ : при $n \geq 3$ натуральных решений нет. Гипотеза прожила 358 лет и была доказана Уайлсом через эллиптические кривые — классический пример «школьной на вид» задачи, породившей глубокую математику.