Случайные процессы: пуассоновский поток и времена ожидания

Задача оператора call-центра: звонки приходят случайно, в среднем четыре в час. Менеджер задаёт три вопроса. Сколько звонков будет за следующие пятнадцать минут? Какова вероятность, что все эти пятнадцать минут пройдут в тишине? Сколько в среднем ждать первого звонка? Одна-единственная константа — интенсивность $\lambda =4$ звонка в час — отвечает на все три, если поток событий пуассоновский. Этот урок — про случайность, разворачивающуюся во времени: здесь появится и младший брат цепей Маркова, и непрерывный аналог схемы Бернулли.

Случайный процесс: случайность с осью времени#

До этого момента случайная величина давала один ответ на один опыт: бросили — получили число. Случайный процесс — целое семейство случайных величин, проиндексированных временем: $X(t)$ для каждого момента $t$ своё значение. Курс валюты на каждой минуте — случайное число, очередь в магазине на каждом часе — случайная длина, число посетителей сайта на каждой секунде — тоже. Процесс — это «кинозапись» случайности, а не один кадр.

Наша тема — счётный процесс $N(t)$: сколько событий произошло к моменту $t$. Звонки, заявки, поломки, радиоактивные распады, клики по баннеру. Для таких процессов центральное понятие — поток событий. Пуассоновским он становится при трёх условиях, которые стоит запомнить буквально:

• Стационарность: вероятности событий зависят только от длины интервала, а не от его положения на оси времени — час ночью и час днём «одинаковы».
• Ординарность: за бесконечно малый промежуток не может случиться двух событий сразу — клиенты не звонят вдвоём в один миг.
• Отсутствие последействия: число событий на непересекающихся интервалах независимо — прошедший шквал звонков ничего не говорит о следующей минуте.

Из трёх условий математика выводит всё распределение. Число событий $N(t)$ на интервале длины $t$ имеет распределение Пуассона с параметром $\lambda t$, где $\lambda$ — среднее число событий в единицу времени:

Формула не берётся с потолка: это предел биномиального распределения. Разрежем час на $n$ мелких интервалов, в каждом событие случается с шансом $p=\lambda t/n$ — и при $n\to \infty$ биномиальные вероятности переходят ровно в записанное выше выражение. Так схема Бернулли с бесконечным дроблением времени дорастает до непрерывного потока; подробности предельного перехода — в материале про распределение Пуассона.

Считаем звонки: λt и экспонента#

Возвращаемся к call-центру: $\lambda =4$ звонка в час. Для интервала длиной $t$ часов параметр равен $\lambda t$. Пятнадцать минут — это $t=0,25$, значит параметр $\lambda t=1$. Вероятность тишины — ноль звонков за четверть часа:

Ровно один звонок: $P(N=1)=1\cdot e^{-1}\approx 0,368$ — совпадает с нулём, потому что параметр равен единице. Два и больше: $1-2e^{-1}\approx 0,264$. Заметьте, сколько без труда посчитано из одного числа $\lambda t=1$: среднее число звонков за четверть часа тоже равно единице — у пуассоновского распределения параметр и есть матожидание, о чём помнит урок про матожидание и дисперсию (дисперсия там же — тоже $\lambda t$).

Время между событиями: экспоненциальное распределение#

Второй герой урока — случайная величина $T$: время от текущего момента до следующего события. У пуассоновского потока она распределена экспоненциально, и связь между ними выводится одной строкой: «$T$ больше $t$» означает «за время $t$ не случилось ничего»:

Плотность $f(t)=\lambda e^{-\lambda t}$ убывает от $\lambda$ к нулю: короткие паузы часты, длинные редки — так живут интервалы между кликами и звонками. Среднее $E[T]=1/\lambda$, дисперсия $1/{\lambda }^2$; вывод этих характеристик через интеграл разобран в уроке о непрерывных случайных величинах. Отношение «параметр — обратное среднее» держите в голове в единицах: $\lambda =4$ в час даёт $1/4$ часа, то есть пятнадцать минут, а не «четыре минуты» — самая частая ошибка приложений.

Экспоненциальное время — это непрерывный отпрыск геометрического распределения из схемы Бернулли: там мы ждали число бросков до первого успеха, здесь — время до первого события. И наследство соответствующее — отсутствие памяти: $P(T>s+t\mid T>s)=P(T>t)$. Проработавший без отказа прибор «не стареет»: шанс продержаться ещё час не зависит от того, сколько он уже проработал. Для техники это подчас нереалистично (износ реален), и тогда экспоненциальную заменяют распределением Вейбулла — но именно отсутствие памяти делает экспоненциальное базовой моделью очередей и надёжности.

Сумма потоков и время до k-го события#

Два свойства делают пуассоновский поток удобным строительным блоком. Первое: независимые потоки складываются — звонки из города с ${\lambda }_1$ и из области с ${\lambda }_2$ дают поток с ${\lambda }_1+{\lambda }_2$; поэтому call-центр, принимающий обращения из разных каналов, суммирует интенсивности и работает с одним числом. Верно и обратное: редкие события в большом потоке можно расщеплять — если каждый звонок с вероятностью $p$ оказывается жалобой, жалобы образуют поток с $\lambda p$, и расчёты по жалобам ведутся теми же формулами.

Второе свойство — про время. Время до второго, третьего, сотого события — это сумма соответствующего числа экспоненциальных пауз; для $k$ событий получается распределение Эрланга с плотностью $f(t)=\frac{{\lambda }^k{t}^{k-1}}{(k-1)!}{e}^{-\lambda t}$ и средним $k/\lambda$. Логика «сколько ждать» масштабируется линейно: в среднем до второго звонка — полчаса при $\lambda =4$, до десятого — два с половиной часа, а форма распределения при этом становится всё более симметричной — теорема о сумме многих слабо зависимых величин уже проглядывает из-за угла.

Ошибки на практике#

• Единицы: $\lambda$ в час, интервал в минутах. Сначала привести время к одним единицам: $\lambda t$ обязан быть безразмерным числом.
• Путаница $P(T>t)$ и $F(t)$: первая убывает от единицы, вторая растёт. Проверка краями: при $t=0$ должно быть $P(T>0)=1$ и $F(0)=0$.
• «Среднее 15 минут — значит ждать 15 минут»: экспоненциальное распределение сильно скошено, медиана около $10,4$ минуты; долгие паузы редки, но именно они тянут среднее вверх.
• Применение пуассоновской формулы к потоку с последействием: если каждый звонок повышает шанс следующего (лавина обращений), поток не пуассоновский и формула врёт. Сначала проверить три условия потока.

Финальный урок цикла — производящие функции: алгебра для вероятностей: как упаковать целое распределение в один многочлен и вытащить моменты дифференцированием. Формулы обоих героев этого урока собраны в шпаргалке по вероятностям, а потренировать счёт вероятностей можно в тренажёре по терверу.