Усталость металлов и предел выносливости: расчёт на циклическую прочность

Вал конвейера отработал пять лет при штатной нагрузке и лопнул. Металлурги режут излом и видят характерную картину: гладкая притёртая зона с пляжными линиями — и грубый крупнозернистый скол остатка. Это усталостный излом: трещина росла медленно, миллиметр за миллиметром, и никто её не замечал до последнего оборота. Предел прочности материала — 600 МПа, рабочие напряжения — едва 150. Формальный расчёт на растяжение и сжатие и на изгиб был верен — и бесполезен: он отвечал на вопрос «выдержит ли нагрузку сейчас», а жизнь детали определяет вопрос «выдержит ли её десять миллионов циклов».

Цикл напряжений: словарь вращающейся детали#

Большинство машинных деталей нагружено периодически: каждый оборот вала, каждый ход поршня повторяет одну и ту же историю напряжений. Один период называют циклом, и описывают его тремя числами. Наибольшее и наименьшее напряжения ${\sigma }_{\max }$ и ${\sigma }_{\min }$ дают коэффициент асимметрии цикла $r={\sigma }_{\min }/{\sigma }_{\max }$; из них же складываются среднее напряжение и амплитуда:

Самый жёсткий режим — симметричный цикл: материал каждый оборот проходит от растяжения к сжатию полной амплитуды. Вал с насаженной на него деталью под постоянной поперечной нагрузкой живёт именно так: конкретное волокно на поверхности при вращении то оказывается снизу (растянуто), то сверху (сжато). Эпюра изгибающего момента вдоль вала строится как обычно — эпюры при изгибе — но читать её надо по-новому: ордината в сечении задаёт амплитуду цикла для каждого волокна.

Кривая Вёлера: сколько циклов переживёт деталь#

Зависимость долговечности от напряжения измеряют на усталостных машинах: серия одинаковых образцов крутится под нагрузкой до разрушения, для каждого уровня напряжения фиксируют число циклов до излома. Немецкий инженер Август Вёллер, разбирая в 1850-х причины крушений вагонных осей, первым поставил такие опыты систематически, и график $\sigma -N$ в его честь зовут кривой Вёлера. Картина типовая: с падением напряжения долговечность растёт на порядки, а для сталей ниже некоторого уровня образцы перестают разрушаться вовсе — сколько ни крути.

Предел выносливости (или предел усталости) — максимальное напряжение, при котором материал не разрушается за базовое число циклов. Индекс $-1$ означает симметричный цикл. Для углеродистых сталей ${\sigma }_{-1}\approx 0,43{\sigma }_{в}$, для легированных — до $0,5{\sigma }_{в}$; у цветных металлов и сплавов горизонтального участка нет, там предел выносливости назначают условно — по заданному ресурсу. Практическое следствие: сталь, «работающая» ниже ${\sigma }_{-1}$, живёт неограниченно долго — но это свойство относится к гладкому полированному образцу, а не к вашей детали.

Концентраторы: где усталостная трещина начинает жить#

Усталостная трещина зарождается у поверхности, почти всегда у концентратора напряжений: галтели перехода, шпоночный паз, отверстие под штифт, резьба, след от резца, даже клеймо на металле. У концентратора местные напряжения превышают номинальные в несколько раз — этот рост описывает эффективный коэффициент концентрации $K_{\sigma }$, определённый по опытам на усталость, а не по теории упругости. К нему добавляются масштабный фактор ${\epsilon }_{\sigma }$ (крупные детали слабее мелких образцов), состояние поверхности $\beta$ (полировка против проката), и все вместе они снижают предел выносливости детали:

Обратите внимание на структуру: концентрация делит, масштаб делит, поверхность вычитает из единицы — и уже этой разностью делит. Итоговый $K$ для реального ступенчатого вала с галтелью легко достигает 2–3: половина или две трети предела выносливости материала сгорают на геометрии. Отсюда правила конструирования: плавные галтели большого радиуса, разгрузочные канавки, отказ от резких ступеней, полировка опасных мест, поверхностное упрочнение наклёпом — все они снижают $K$ и стоят дешевле, чем утолщение вала.

Числа шага 4–5 показывают, почему расчёт на усталость требуют отдельно от проверки на статическую прочность: статически вал с амплитудой 80 МПа при пределе текучести 350 МПа выглядит четырёхкратно надёжным, а по выносливости запас едва дотягивает. Два расчёта отвечают на разные вопросы, и проходным баллоном «и так сойдёт» здесь не обойтись — предельное состояние наступает по тому из них, что жёстче.

Типичные ошибки

• сравнивать рабочие напряжения с пределом прочности при циклической нагрузке: мерой служит предел выносливости, он в 2–3 раза ниже
• игнорировать концентраторы: отверстие или проточка могут съесть половину запаса, которого на бумаге хватало
• перепутать ${\sigma }_a$ и ${\sigma }_{\max }$: в формулу запаса при симметричном цикле идёт амплитуда
• забыть про масштабный фактор и состояние поверхности: катаная, а не шлифованная поверхность снижает предел на десятки процентов
• приписывать цветным сплавам неограниченную долговечность: у них нет горизонтального участка кривой Вёлера
• копить зарплаты «низких» циклов: перегрузки выше предела выносливости необратимо расходуют ресурс детали

Связь с остальным курсом: сложные напряжённые состояния валов — изгиб с кручением — превращаются в расчёт на усталость через приведённые напряжения; сама сборка схемы разобрана в уроке сложное сопротивление, крутящая составляющая — в уроке кручение валов. Геометрию сечения в формулы приносят момент сопротивления и прочие геометрические характеристики сечений, а итоговая проверка замыкается на коэффициент запаса прочности — тот же показатель, что и в статике, но с пределом выносливости в числителе. Формулы циклов и запаса лежат в шпаргалке по эпюрам и формулам сопромата, распределение нормальных напряжений по сечению — в уроке напряжения при изгибе.