Сила Ампера и сила Лоренца: магнитные силы

Ротор электромотора крутится без единой шестерёнки — его вращает чистое магнитное поле. Заряженные частицы в ускорителе бегут по идеальной окружности, не касаясь стенок. Полярное сияние рисует занавесы на высоте сотни километров. За всеми этими фокусами стоит одна пара формул — сила Ампера для токов и сила Лоренца для отдельных зарядов, обе выросшие из магнитного поля тока. Разберём их так, чтобы вы могли не только подставить числа, но и объяснить, откуда у силы берётся направление.

Сила Ампера: как поле давит на провод#

Поместим провод с током в магнитное поле. Поле действует на каждый движущийся заряд внутри провода, а суммарный эффект — прямая сила на весь провод. Сила Ампера:

$B$ — индукция поля в теслах, $I$ — ток в амперах, $L$ — длина провода в поле, $\alpha$ — угол между проводом и вектором $\vec{B}$. Сила максимальна, когда провод перпендикулярен линиям, и обнуляется, когда провод лежит вдоль поля — параллельным токам магнитное поле просто «не заметно».

Пример с числами: провод длиной 20 см с током 4 А лежит в поле 0,5 Тл перпендикулярно линиям. Тогда $F=0,5\cdot 4\cdot 0,2=0,4$ Н — сила веса 40-граммового грузика. Немного? Посчитайте сами для провода электромагнита с током 100 А в поле 2 Тл и метровой длиной: 200 Н — вес человека. Электродинамические подвесы поездов работают ровно на этом.

Направление силы всегда перпендикулярно и проводу, и полю — это векторное произведение в чистом виде, $\vec{F}=I\vec{L}\times \vec{B}$. Отсюда бонус-факт: два параллельных провода с токами в одну сторону притягиваются, в противоположные — отталкиваются. Именно через силу между двумя такими проводами долгие годы определяли сам ампер: ток в 1 А — это когда метровые провода на расстоянии 1 м притягиваются с силой $2\cdot 10^{-7}$ Н на каждый метр.

Сила Лоренца: сила на один заряд#

Уберём провод, оставим одиночную частицу со скоростью $v$ и зарядом $q$. На неё в магнитном поле действует сила Лоренца:

Разбор по частям:

Ключевое свойство: сила Лоренца всегда перпендикулярна скорости. Перпендикулярная сила не совершает работу — она меняет направление движения, но не модуль скорости. Частица в магнитном поле не разгоняется и не тормозит, только поворачивает. Поэтому магнитные поля используют для фокусировки пучков, а не для ускорения: разгонять заряжает электрическое поле, крутить — магнитное.

Заряд в магнитном поле: окружность и спираль#

Пусть заряд летит перпендикулярно полю. Сила постоянна по модулю и всегда перпендикулярна скорости — это идеальные условия для равномерного движения по окружности. Центростремительную силу приравниваем к силе Лоренца и получаем радиус орбиты:

Быстрее заряд — шире окружность; сильнее поле — окружность сжимается. Из той же записи вынимается циклотронный период — время полного оборота:

Вот где спрятано чудо: скорость $v$ сократилась. Период оборота зависит от массы, заряда и поля — но не от скорости. Медленный заряд и быстрый обходят круг за одно и то же время. Именно на этом стоит циклотрон: частица крутится в постоянном поле, а переменное электрическое поле подталкивает её каждый раз в нужный момент — и частота подгонки не меняется, хотя скорость растёт с каждым витком. Формально уравнение движения $m\vec{v}{}^{\prime }=q\vec{v}\times \vec{B}$ — обычное дифференциальное уравнение, и окружность — его естественное решение.

Если же скорость наклонена к полю под углом, движение раскладывается на два: круг в плоскости, перпендикулярной полю, и равномерное скольжение вдоль поля. Сложение даёт спираль — винтовую линию, шаг которой растёт вместе с продольной составляющей скорости. Полярное сияние — заряды солнечного ветра, закрутившиеся в такие спирали вдоль силовых линий Земли и «упершиеся» в атмосферу у полюсов.

Где это всё работает#

Перечислим применения без притворной скромности — список короткий, но каждый пункт изменил мир:

• электродвигатель: рамка с током в магнитном поле — две стороны рамки тянут в противоположные стороны, рамка вращается; сила Ампера превращает электричество в механику
• масс-спектрометр: ионы с одинаковым зарядом, но разной массой закручиваются в окружности разного радиуса — по радиусу ловят массу, так узнают состав вещества
• циклотрон и синхротрон: частицы крутятся по орбитам с постоянным периодом и набирают энергию от переменного поля на каждом витке
• магнитные ловушки в термояде: плазма при миллионах градусов нельзя касаться стенок — её держит спиральное движение в магнитном поле токамака

Подведём черту. Сила Ампера действует на провод с током и описывает макромир моторов, сила Лоренца — на отдельный заряд и описывает микромир ускорителей. Вторая — причина первой: в проводе просто очень много зарядов, и их маленькие силы складываются. Направление в обоих случаях перпендикулярно скорости и полю, работа всегда нулевая, а правило левой руки — ваш карманный детектор направления. Дальше по курсу — электромагнитная индукция, где магнитное поле начнёт рождать электрический ток.

Штрих для любопытных: во сколько раз орбита электрона уже орбиты протона при одинаковой скорости и поле? Радиус пропорционален массе, а $m_p/m_e\approx 1836$, значит электрон закручивается почти в две тысячи раз круче. Именно поэтому электронные приборы — от кинескопов прошлого до электронных микроскопов — обходятся сравнительно слабыми полями, а протонные ускорители требуют магнитов в единицы тесла и больше: тяжёлой частице нужна пропорционально более сильная закрутка.