Задания 1–5 ОГЭ по математике: практические задачи — полный разбор связки

ОГЭ начинается не с формул, а с плана домохозяйства. Задания 1–5 — одна история, пять вопросов, пять первичных баллов: больше, чем стоит любое другое задание экзамена, кроме геометрии второй части. Читаете условие один раз — отвечаете пять раз. Именно поэтому связку выгодно прорешать целиком на тренировке: она превращает старт экзамена в рутину, а рутина — лучшее лекарство от волнения. К сожалению, у девятиклассников эта связка теряет больше баллов, чем уравнение 9 и неравенство 13 вместе взятые. Причина не в сложности: баллы уносятся спешкой и невнимательным чтением.

Сюжет ФИПИ меняется от года к году: участок с домом и баней, квартира с кухней и ванной, комплектация автомобиля с шинами, тарифы отопления. Меняются картинки и цифры, но скелет один: план с сеткой, таблица с данными и пять вопросов — от «найдите площадь» до «через сколько месяцев окупится установка». Разберём ниже одну связку полностью, от ворот до печки. Тот же план пригодится и на ЕГЭ: там похожая связка открывает профиль — смотрите разбор заданий ЕГЭ с планами и фигурами.

Что проверяет связка и где прячутся ловушки#

Пять заданий проверяют пять разных бытовых навыков: измерение по плану, подсчёт расхода материала, простые проценты и арифметику денег. Формул мало — их меньше десятка, и все они собраны в таблице в конце страницы. Ловушки же повторяются из года в год:

• Масштаб: сторона клетки на бумаге — не метры, а «одна клетка равна 2 м». Площадь клетки тогда не 1, а $4{\text{м}}^2$. Самая дорогая ошибка связки.
• «Сколько упаковок нужно» — округлять всегда вверх: 7,2 упаковки означают 8, потому что плитку продают целыми упаковками.
• Площадь стен без вычета окон, дверей и ворот — или наоборот, вычли то, что вычитать не просили. Читайте, что сказано про проёмы.
• В тарифных задачах стоимость растёт линейно: фиксированная часть плюс цена за единицу. Перепутали местами «установку» и «ежемесячную плату» — ответ уехал.
• Окупаемость — это деление разницы установок на разницу месячных платежей, и округление опять вверх: 3,2 месяца означают 4.
• Единицы: метры против сантиметров, рубли за кубометр против рублей за киловатт-час. Перед подстановкой переведите всё в одни единицы.

Условие, по которому пройдём все пять заданий#

На плане изображено домохозяйство: участок прямоугольной формы разбит на квадратные клетки со стороной 2 метра. Слева — дом размером 12 м на 8 м, справа сверху — гараж 6 м на 4 м, справа снизу — баня 6 м на 4 м. От ворот к дому идёт дорожка длиной 10 метров и шириной 1 метр, от дома к бане — дорожка длиной 8 метров и той же ширины. Дорожки планируют выложить тротуарной плиткой размером 50 см на 50 см; плитка продаётся упаковками по 10 штук. Гараж планируют покрасить: стены высотой 2,5 метра, ворота размером 2 м на 2 м красить не будут, одной банки краски хватает на 8 квадратных метров. Для отопления выбирают между электрическим котлом и газовым: дом потребляет 1800 кВт·ч тепла в месяц, газовый котёл получает 9 кВт·ч с каждого кубометра газа, тариф газа — 5,5 рубля за кубометр, тариф электричества — 4,5 рубля за киловатт-час. Установка газового оборудования стоит 38 000 рублей, электрического — 10 000 рублей.

Звучит объёмно, но смотрите, как всё это раскладывается на пять коротких счётов. Каждое задание — одно-два действия над числами из условия.

Задание 1. Площадь участка и размеры по плану#

Спрашивают площадь участка. Считаем в клетках: участок занимает 20 клеток в длину и 15 в ширину. Одна клетка — 2 метра, значит, реальные размеры 40 м и 30 м. Площадь прямоугольника — произведение сторон:

Проверка через клетки даёт то же: $20\cdot 15=300$ клеток по $4{\text{м}}^2$ — снова 1200. Два способа сошлись, ответ надёжен. Ошибка, которую любит проверять статистика ФИПИ: написать 300 — площадь в клетках без пересчёта масштаба. Одна клетка на бумаге — четыре квадратных метра на земле.

Задание 2. Плитка для дорожек#

Сначала площадь дорожек: две полосы по 1 метру шириной, длины 10 и 8:

Плитка размером 50 см на 50 см покрывает $0,5\cdot 0,5=0,25{\text{м}}^2$. Делим: $18/0,25=72$ плитки. Упаковки по 10 штук: $72/10=7,2$ — округляем вверх до 8. Ответ: 8 упаковок. Здесь два этажа ошибок: забыть, что 50 см — это 0,5 м (и получить плитку в 2500 квадратных метров), и округлить 7,2 вниз. Плитку недоделанной не купишь — только вверх.

Задание 3. Краска для гаража#

Гараж — параллелепипед 6 м на 4 м с высотой стен 2,5 м. Площадь стен — периметр, умноженный на высоту, минус ворота, которые не красят:

Банка покрывает 8 квадратных метров: $46/8=5,75$ — округляем вверх, покупаем 6 банок. Обратите внимание на связку с заданием 2: один и тот же приём «посчитай площадь, раздели на расход, округли вверх» отрабатывается дважды. На экзамене это будет два разных номера — и один и тот же навык.

Задание 4. Газ или электричество: считаем месячную плату#

Дом требует 1800 кВт·ч тепла в месяц. Электрокотёл берёт энергию напрямую: $1800\cdot 4,5=8100$ рублей в месяц. Газовому нужно тепло перевести в кубометры: с каждого кубометра котёл даёт 9 кВт·ч, значит:

Разница в месяц: $8100-1100=7000$ рублей. Газ дешевле на семь тысяч ежемесячно. Ошибка-приманка: умножить 1800 на 5,5 — то есть тариф газа на киловатт-часы, хотя газ меряют кубометрами. Перед подстановкой спросите себя: в каких единицах тариф, в каких потребность.

Задание 5. Через сколько месяцев окупится газовое оборудование#

Газовая установка дороже на $38000-10000=28000$ рублей, зато экономит 7000 рублей каждый месяц. Делим:

Через четыре месяца переплата за оборудование вернётся, дальше газ начнёт приносить чистую экономию. Если бы деление вышло нецелым — 3,2 месяца, например, — ответом было бы 4: пока экономия не покрыла переплату, говорить об окупаемости рано.

Алгоритм, который закрывает любую связку 1–5#

1. 1
   Прочитайте условие до конца и выпишите на черновик все числа с их единицами: метры, рубли, киловатт-часы.
2. 2
   Подпишите размеры на самом плане: клетку, стороны каждой постройки, длины дорожек. Дальше текст не перечитывайте — работайте по картинке.
3. 3
   Для каждого вопроса определите тип: площадь, расход с округлением вверх, тариф, окупаемость. Тип подсказывает формулу.
4. 4
   Считайте в два шага: сначала величины в правильных единицах, потом деньги или количество.
5. 5
   Проверьте направление округления: упаковки, банки, месяцы — всегда вверх; площадь и цена — ровно то, что вышло.
6. 6
   Пробегите ответы глазами: стоимость не может выйти отрицательной, окупаемость — нулевой, плитка — десятой долей штуки.

Типовые ошибки: список для повторения перед экзаменом#

• Площадь посчитана в клетках и не переведена в метры: 300 вместо 1200. Масштаб — первое, что проверяем.
• Округление вниз: 7,2 упаковки записали как 7 — дорожка останется без покрытия, балл уйдёт.
• Забыли вычесть ворота из площади стен — купили краску на 4 лишних квадрата, ответ не тот.
• Кубометры смешали с киловатт-часами: тариф газа применили к потребности в тепле напрямую.
• В задаче окупаемости вычли наоборот или разделили установку на месячную плату, а не на разницу плат.

Формулы для связки 1–5#

Диагональная строка таблицы — не украшение: в половине вариантов ФИПИ один из пяти вопросов просит расстояние между углами построек по прямой, и это ровно Пифагор. Разбор термина с картинками — в статье теорема Пифагора. Координатный взгляд на план (углы построек как точки с координатами) закреплён в уроке прямая на плоскости — оттуда же приходит привычка не путать длину с площадью. Квадраты и корни для диагоналей повторите по шпаргалке степеней и корней.

После разбора обязательно прогоните связку руками: чтение создаёт иллюзию умения, счёт — нет. Свежие задачи с мгновенной проверкой лежат в тренажёрах, а на завтра оставьте повторение: свяжка забывается медленно, но масштаб и округление выветриваются за неделю.

Связка закрыта — двигаемся дальше по КИМ. Уравнения задания 9 разобраны на соседней странице урок про задание 9, а вероятность задания 10 — в разборе теория вероятностей на ОГЭ. Теория под обе темы лежит на курсах: аналитическая геометрия плана и классическая вероятность.