Вычисление двойного интеграла: сведение к повторному интегралу

Определение двойного интеграла через предел сумм объясняет его смысл, но считать пределы вручную никто не собирается. Счаёт открывает теорема Фубини: двойной интеграл по прямоугольнику равен дважды взятому одномерному — внутренний интеграл по одной переменной (вторая заморожена), внешний по другой. Эта страница — про механику такого сведения: прямоугольник, произвольная область, смена порядка интегрирования и полярные координаты.

Определение и свойства — в материале двойной интеграл: определение и свойства; применение к массам и площадям — в приложениях; где это живёт в программе — уроки двойные интегралы и приложения двойных интегралов.

Фубини: прямоугольник превращается в два одномерных интеграла#

Пусть $D=[a;b]\times [c;d]$ — прямоугольник, $f$ непрерывна. Тогда

Читается так: заморозили $x$, проинтегрировали по $y$ от $c$ до $d$ — получили функцию от одного $x$; проинтегрировали её по $x$. Смысл — «сначала сложить столбики в ряды, затем ряды в объём». Техника: внутренний интеграл берётся по школьным правилам, где $x$ — просто константа. Разберём эталон.

Пример 1. ${\iint }_D(x+y)dS$ по $D=[0;1]\times [0;2]$. Внутренний по $y$ (x заморожен): ${\int }_0^2(x+y)dy=[xy+\frac{y^2}{2}{]}_0^2=2x+2$. Внешний: ${\int }_0^1(2x+2)dx=[x^2+2x{]}_0^1=3$. Обратный порядок: ${\int }_0^2{\int }_0^1(x+y)dxdy={\int }_0^2(\frac{1}{2}+2y)dy=1+4=3$ — то же число, Фубини честен.

Пример 2 — разделение переменных. ${\iint }_{D}xydS$ по $[0;2]\times [0;1]$: подынтегральная функция распадается на $x\cdot y$, а прямоугольник — на независимые отрезки. Тогда интеграл распадается в произведение: $\left({\int }_0^{2}xdx\right)\left({\int }_0^{1}ydy\right)=2\cdot \frac{1}{2}=1$. Тот же результат даёт и «лобовое» сведение — но произведение интегралов считается в одну строку. Приём работает только для произведения $g(x)h(y)$ на прямоугольнике — запомните условия.

Произвольная область: вертикальные и горизонтальные полоски#

Для области $D$, зажатой между двумя графиками, прямоугольник не подходит — интегрируют по полоскам. Вертикальные полоски (область типа I): $x$ пробегает $[a;b]$, а $y$ — между нижней границей ${\phi }_1(x)$ и верхней ${\phi }_2(x)$:

Горизонтальные полоски (тип II): ${\int }_c^d\left({\int }_{{\psi }_1(y)}^{{\psi }_2(y)}fdx\right)dy$. Разбор области всегда начинается с эскиза: какие границы снизу/сверху (для типа I) или слева/справа (для типа II). Эталонный счёт — площадь области между параболой $y=x^2$ и прямой $y=2x$: пересечения $x=0$ и $x=2$, интеграл ${\int }_0^2{\int }_{x^2}^{2x}1dydx={\int }_0^2(2x-x^2)dx=4-\frac{8}{3}=\frac{4}{3}$ — тот самый серп $\frac{4}{3}$ из задач о площади, но полученный двойным интегралом.

Смена порядка — приём, который превращает «не берущийся» внутренний интеграл в берущийся. Классика: ${\int }_0^1{\int }_x^1{e}^{y^2}dydx$ — внутренний интеграл по $y$ не выражается в элементарных функциях. Рисуем область ($0\le x\le y\le 1$) и меняем порядок: $y$ идёт от $0$ до $1$, $x$ — от $0$ до $y$:

Площадь области при смене порядка не изменилась ($0\le x\le y\le 1$ — один и тот же треугольник), изменилась только последовательность счёта. Правило: новый внутренний предел выражается через новую внешнюю переменную, и его надо выводить из эскиза, а не переставлять буквы.

Полярные координаты: когда область круглая#

Круги, кольца и сектора в прямоугольных координатах мучительны (пределы с корнями и минусами), а в полярных — сказка: $x=r\cos \phi$, $y=r\sin \phi$, и элемент площади получает множитель якобиана:

Эталон — площадь круга радиуса $R$: ${\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{R}rdrd\phi =2\pi \cdot \frac{R^2}{2}=\pi R^2$ — школьная формула получена одной строкой. Ещё проверка: $\iint (x^2+y^2)dS$ по кругу радиуса 2: в полярных $x^2+y^2=r^2$, интеграл ${\int }_0^{2\pi }{\int }_0^2{r}^{3}drd\phi =2\pi \cdot 4=8\pi$. В прямоугольных это выглядело бы как пытка с пределами $\pm \sqrt{4-x^2}$ — сравнение убеждает лучше любых слов.