Двойной интеграл: определение, смысл и свойства простыми словами

Двойной интеграл — это «одномерный интеграл, умноженный на измерение»: функция накопится не по отрезку, а по плоской области. Одномерный интеграл складывает полоски высоты $f(x)$ и ширины $dx$; двойной складывает столбики с основанием-кусочком области $dA$ и высотой $f(x,y)$. Везде, где величина размазана по поверхности — масса пластины, заряд, объём над участком плоскости, средняя температура региона — двойной интеграл собирает её одним счётом.

Ниже — аккуратное определение через суммы Римана, два смысла (геометрический и физический), пять свойств и живая 3D-сумма столбиков. Вычисление через повторные интегралы — в разборе вычисление двойного интеграла; применение к площадям и массам — на странице приложения двойного интеграла; базовый курс — в уроке двойные интегралы.

Определение двойного интеграла#

Пусть $D$ — ограниченная замкнутая область на плоскости, а $f(x,y)$ — непрерывная в ней функция. Разрежем $D$ сеткой на $n$ кусочков $\Delta S_i$ с площадями $\Delta S_i$ (так удобно обозначать и сам кусочек, и его площадь). В каждом кусочке выберем точку $({\xi }_i,{\eta }_i)$ и составим интегральную сумму Римана:

Назовём диаметром разбиения $d$ — наибольший из диаметров кусочков (для сетки квадратов — длина диагонали ячейки). Если при $d\to 0$ суммы ${\sigma }_n$ стремятся к одному и тому же числу при любом способе разбиения и любом выборе точек, то это число называется двойным интегралом от $f$ по области $D$:

Для непрерывной функции предел существует всегда — непрерывность гарантирует интегрируемость. Обозначение $\iint$ подчёркивает двумерность, а $dS$ (иногда пишут $dA$ или $dxdy$) — «кусочек площади». Заметьте структурную симметрию с одномерным случаем: та же схема «разрезать, измерить в точке, сложить, устремить мелкость к нулю» — меняется только носитель, по которому копимся.

Геометрический смысл: объём цилиндрического тела#

Если $f(x,y)\ge 0$ в области $D$, то $f$ задаёт «крышу» над областью, и двойной интеграл равен объёму цилиндрического тела — куска пространства между областью-дном и этой крышей. Проверка размерностями: высота (единицы длины) умножается на площадь основания (квадрат единиц) — получаются кубические единицы, объём.

Пример-проверка: $f(x,y)=5$ над прямоугольником $D=[0;2]\times [0;3]$ — «крыша» плоская на высоте 5, тело — коробка $2\times 3\times 5$. Интеграл: ${\iint }_{D}5dS=5\cdot S(D)=5\cdot 6=30$ — объём коробки 30 кубических единиц. Интеграл константы равен константе, умноженной на площадь области: полезное тождество, которое мы используем для площадей (страница приложения).

Если $f$ меняет знак, объёмы «над» и «под» плоскостью считаются с разными знаками — интеграл даёт их разность. Это точно та же ловушка, что у одномерного интеграла и площади (синус на $[0;2\pi ]$), и лечится она так же: интегралом модуля, когда нужен именно суммарный объём.

Физический смысл: масса пластины#

Пусть $D$ — тонкая пластина, а $\rho (x,y)$ — её поверхностная плотность (масса на единицу площади). Кусочек $\Delta S_i$ несёт массу $\rho ({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta S_i$, и сумма Римана — масса всей пластины с точностью до мелкости нарезки. В пределе

Числовой контроль: пластина $[0;2]\times [0;1]$ с плотностью $\rho =xy$. Считаем честно (повторный интеграл, техника — в вычислении двойного интеграла): $m={\int }_0^2{\int }_0^{1}xydydx=\left({\int }_0^{2}xdx\right)\left({\int }_0^{1}ydy\right)=2\cdot \frac{1}{2}=1$ кг. Тяжелеет к углу $(2;1)$ — там произведение координат максимально: плотность и должна утяжелять этот угол.

Пять свойств двойного интеграла#

1. Линейность. ${\iint }_D(\alpha f+\beta g)dS=\alpha {\iint }_{D}fdS+\beta {\iint }_{D}gdS$: константы выносятся, интеграл суммы разбивается. Следствие: ${\iint }_{D}cdS=c\cdot S(D)$ — интеграл константы.
2. Аддитивность по области. Если $D=D_1\cup D_2$ без перекрытий, то ${\iint }_{D}fdS={\iint }_{D_1}fdS+{\iint }_{D_2}fdS$. Сложные области режутся на простые: прямоугольники, круги, сектора.
3. Монотонность. Если $f\le g$ в $D$, то ${\iint }_{D}fdS\le {\iint }_{D}gdS$. Отсюда оценка сверху и снизу: $m\cdot S(D)\le {\iint }_{D}fdS\le M\cdot S(D)$, где $m$ и $M$ — наименьшее и наибольшее значения функции в области.
4. Интеграл от единицы. ${\iint }_{D}1dS=S(D)$: столбики высоты 1 складываются в площадь основания. Это мост от двойного интеграла к вычислению площадей областей.
5. Теорема о среднем. Для непрерывной $f$ найдётся точка $(\xi ,\eta )$ в $D$: ${\iint }_{D}fdS=f(\xi ,\eta )\cdot S(D)$ — площадь, «умноженная на значение в какой-то точке». Полезно для прикидок: средняя высота тела лежит между минимумом и максимумом крыши.

Проверим монотонность и оценку числом. Для $f(x,y)=x^2+y^2$ над квадратом $[-1;1{]}^2$ (площадь 4): минимум $m=0$ в центре, максимум $M=2$ в углах. Оценка: $0\le {\iint }_{D}fdS\le 8$. Точный счёт даёт $\frac{8}{3}\approx 2,67$ — внутри коридора, ближе к середине: высота набирается к краям, но не везде. Такая прикидка — секундная проверка любого ответа.

От определения к счёту#

Определение через предел сумм объясняет, что считается, но не отвечает, как считать. Ответ даёт теорема Фубини: двойной интеграл по прямоугольнику разворачивается в дважды взятый одномерный — «сначала по $y$, потом по $x$» (или наоборот). Эта механика с полным набором примеров — на странице вычисление двойного интеграла. А если нужен живой счёт конкретного интеграла, аналитический разбор — в уроках двойные интегралы и приложения двойных интегралов; численно суммы Римана считает наш тренажёр численных методов.