Сумма ряда онлайн

Что такое сумма ряда

Сложим первые $N$ членов ряда — получится частичная сумма $S_N$. Если при $N\to \infty$ эти суммы подходят к некоторому числу, его и называют суммой ряда:

За этой формулой стоит простая механика: сумма существует, когда хвост ряда вносит всё меньший вклад. Для геометрического ряда $\sum q^n$ хвост после члена $q^N$ равен $\frac{q^{N+1}}{1-q}$ — и он умирает экспоненциально. Для гармонического ряда $\sum \frac{1}{n}$ хвост после $N$ примерно равен $\ln \frac{2N}{N+1}$ — почти постоянная величина, которая никогда не исчезает. Вот почему первый ряд имеет сумму, а второй — нет, хотя члены обоих стремятся к нулю.

Четыре ряда, у которых сумму находят всегда

1. 1
   Геометрический — ${\sum }_{n=0}^{\infty }{q}^n=\frac{1}{1-q}$ при $|q|<1$. Механика: $S_N(1-q)=1-q^{N+1}$, хвост гасится умножением. Частный случай $q=\frac{1}{2}$ даёт сумму 2.
2. 2
   Телескопический — член раскладывается в разность соседних: $\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$. В сумме всё гасится, кроме первого и последнего слагаемых: $S_N=1-\frac{1}{N+1}\to 1$.
3. 3
   p-ряд с табличным p — $\sum \frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$, $\sum \frac{1}{n^4}=\frac{{\pi }^4}{90}$. Значения ζ(2) и ζ(4) вычислил Эйлер; при $p\le 1$ сумма не существует.
4. 4
   Ряды из разложений e и ln — $\sum \frac{1}{n!}=e-1$ (Маклорен для $e^x$ при $x=1$), $\sum \frac{(-1{)}^{n+1}}{n}=\ln 2$ (разложение $\ln (1+x)$). Сумма здесь — значение известной функции.

Разобранные примеры с решением

Пример 1: телескопический ряд

Найти $S={\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n(n+1)}$. Раскладываем член на разность:

Частичная сумма сворачивается:

Предел $S=1$. Проверка решателя: $S_{10000}\approx 0,99990$ — ровно $1-\frac{1}{10001}$, неотдобранный хвост совпал с теорией.

Пример 2: геометрический ряд

Найти ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{2^n}$. Отношение соседних членов $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{2}$ — константа, значит ряд геометрический с $q=\frac{1}{2}$ и первым членом $a_1=\frac{1}{2}$:

Наглядная интерпретация: отрезок длины 1 делится пополам, потом ещё раз и ещё — сумма всех половинок восстанавливает целый отрезок. Решатель распознаёт постоянное отношение по пробам и выдаёт точную единицу, а не приближение по частичным суммам.

Пример 3: базельская задача

Найти ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}$. Это p-ряд с $p=2>1$ — ряд сходится, а его сумму Эйлер вычислил в 1735 году:

Численный контроль решателя: $S_{10000}\approx 1,64483$ — отличается от точной суммы ровно на хвост $\approx \frac{1}{10000}$, что согласуется с интегральной оценкой остатка ${\int }_N^{\infty }\frac{dx}{x^2}=\frac{1}{N}$. Для произвольного $p=3,5,7,\dots$ табличной формулы нет — там сумма остаётся числом (для $p=3$ это постоянная Апери $\approx 1,20206$).

Пример 4: расходящийся ряд с убывающими членами

Ряд $\sum \frac{1}{n}$ обязан сбить с толку: члены убывают к нулю, а суммы всё равно уходят в бесконечность. Решатель замечает режим роста: приращение $S_{10000}-S_{3000}\approx 1,2$ не исчезает и в точности совпадает с $\ln \frac{10000}{3000}$:

Вердикт «гармонический тип»: суммы растут как логарифм номера, предельного числа нет. Константа $0,5772$ — это постоянная Эйлера–Маскерони, но с рядом она ничего не спасает: $\ln N$ неограничен.

Таблица известных сумм

Три ошибки, которые дорого стоят

Где суммы рядов встречаются дальше

Первое — степенные ряды: внутри интервала сходимости их сумма — некоторая функция, и именно так получаются разложения $e^x$, $\sin x$, $\ln (1+x)$. Второе — ряды Фурье: сумма $\sum \frac{1}{n^2}$ по коэффициентам даёт знаменитое равенство $\frac{{\pi }^2}{6}$ для квадрата пилообразной волны. Третье — численные методы: скорость сходимости ряда определяет, сколько членов нужно взять для заданной точности, а оценка хвоста через интеграл — стандартный инструмент вычислительной математики.

Частые вопросы