Интервал сходимости степенного ряда онлайн

Введите коэффициент $c_{n}$ — решатель найдёт радиус $R$ по формуле Даламбера для коэффициентов, выпишет интервал сходимости и покажет каждый шаг: от упрощения отношения до предела и проверки концов.

работает в браузере, без сервера понимает факториалы и степени честно про концы интервала

Степенной ряд: пошаговое решение

работает в браузере

Введите коэффициент c_n как выражение от n (переменная — n). Движок ищет R = lim |cₙ/cₙ₊₁| и показывает интервал сходимости.

Нажмите «Решить пошагово» или пример-чипс — решение строится прямо в браузере, без отправки на сервер.

Как найти радиус сходимости: формула Даламбера

Степенной ряд — это бесконечный многочлен $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} x^{n}$ . Его судьба целиком записана в коэффициентах: у каждого степенного ряда есть число $R$ , такое что при $∣ x ∣ < R$ ряд сходится абсолютно, при $∣ x ∣ > R$ расходится, а на границе $∣ x ∣ = R$ начинается отдельная история. Это число называют радиусом сходимости, а промежуток $(- R; R)$ — интервалом сходимости.

Радиус вытекает из признака Даламбера, применённого к членам ряда как функциям от $x$ . Отношение соседних членов равно $\frac{c _{n + 1} x ^{n + 1}}{c _{n} x ^{n}} = ∣ x ∣ \cdot \frac{c _{n + 1}}{c _{n}}$ . Ряд сходится, пока это отношение меньше единицы — то есть пока $∣ x ∣$ не превысит предел, обратный к отношению коэффициентов:

R = n \to \infty lim \frac{c _{n}}{c _{n + 1}}

Практическое следствие: чтобы найти радиус, достаточно уметь упрощать отношение соседних коэффициентов и брать предел от $n$ . Для учебных рядов это одна-две строки; решатель проделывает их перед вашими глазами и дополнительно проверяет себя численно — вычисляет отношение в десяти пробах вплоть до $n = 1000$ .

Три судьбы предела

Предел — конечное число $R = a$ : интервал $(- a; a)$ . Так будет для $c_{n} = 1/ 2^{n}$ (радиус 2), для $c_{n} = n / 2^{n}$ (тот же радиус 2 — множитель $n$ в коэффициенте радиус не меняет), для $c_{n} = 1/ (n \cdot 3^{n})$ (радиус 3).
Предел бесконечен — коэффициенты падают быстрее любой геометрической прогрессии: $c_{n} = 1/ n!$ даёт $R = \infty$ и сходимость при всех $x$ . Именно поэтому $e^{x} = \sum x^{n} / n!$ определена на всей прямой, а не на отрезке.
Предел равен нулю — коэффициенты растут слишком быстро: $c_{n} = n!$ или $c_{n} = n^{n}$ дают $R = 0$ . Такой ряд сходится только в центре $x = 0$ и функцию не порождает.

Разобранные примеры с решением

Пример 1: классика с геометрическим знаменателем

Найти интервал сходимости ряда $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x ^{n}}{2 ^{n}}$ . Коэффициент $c_{n} = 2^{- n}$ , отношение соседних:

\frac{c _{n}}{c _{n + 1}} = \frac{2 ^{- n}}{2 ^{- (n + 1)}} = 2 \Rightarrow R = 2

Интервал $(- 2; 2)$ . Концы: при $x = 2$ ряд превращается в $\sum 1$ — расходится; при $x = - 2$ — в $\sum (- 1)^{n}$ — тоже расходится. Область сходимости совпала с интервалом.

Пример 2: факториал в коэффициенте

Ряд $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{n !}{n ^{n}} x^{n}$ . Отношение коэффициентов упрощается изящно:

\frac{c _{n}}{c _{n + 1}} = \frac{n !}{n ^{n}} \cdot \frac{( n + 1 ) ^{n + 1}}{( n + 1 )!} = \frac{( n + 1 ) ^{n}}{n ^{n}} = (1 + \frac{1}{n})^{n}

Предел — второй замечательный предел: $R = e \approx 2, 718$ . Решатель получает это же число численно: экстраполяция Ричардсона по пробам $n = 50$ и $n = 100$ снимает поправку вида $c / n$ и восстанавливает точное значение $e$ , хотя прямой подсчёт $n!$ в double переполняется уже при $n = 171$ .

Пример 3: когда радиус не решает — ряд с 1/n

Ряд $\sum \frac{x ^{n}}{n}$ : отношение даёт $R = 1$ , интервал $(- 1; 1)$ . Но концы здесь разные: при $x = 1$ получается гармонический ряд $\sum 1/ n$ — расходится; при $x = - 1$ — знакочередующийся $\sum (- 1)^{n} / n$ , который сходится по Лейбницу и даёт $- ln 2$ . Итоговая область сходимости — $[- 1; 1)$ : асимметрия, которую радиус принципиально не видит.

Шпаргалка по типовым коэффициентам

Коэффициент	Предел отношения	Вердикт
Коэффициент 1/n!	\|c_n/c_{n+1}\| = n+1 → ∞	R = ∞: сходится при всех x (так устроена e^x)
Коэффициент 1/a^n	отношение → a	R = a: интервал (−a; a), концы дают геометрический ряд
Коэффициент n^k/a^n	отношение → a	R = a: многочлен в коэффициенте радиус не меняет
Коэффициент 1/n	отношение → 1	R = 1: при x=1 расходится, при x=−1 сходится (Лейбниц)
Коэффициент n!	\|c_n/c_{n+1}\| → 0	R = 0: сходится только в центре x = 0
Пропущенные члены (только чётные n)	предел отношения не существует	нужна радикальная формула Коши или междучленная оценка

Многочлен в коэффициенте (

n, n^{2}, \dots

) радиус не меняет — он растворяется в пределе.

Концы интервала: единственное, что решается руками

Подстановка $x = R$ и $x = - R$ убивает $x^{n}$ из члена ряда, и степенная задача превращается в числовую: $\sum c_{n} R^{n}$ . Дальше работает обычный арсенал — признак Лейбница для знакочередующихся, предельный признак сравнения с $p$ -рядом, интегральный признак для монотонных членов. Быстрая наводка: если $c_{n} R^{n} \sim 1/ n^{p}$ , то при $p > 1$ конец сходится, при $p \leq 1$ — нет; знакочередование спасает конец при любом $p > 0$ с монотонным убыванием.

Теория степенных рядов

Урок с живым графиком частичных сумм: от Тейлора до области сходимости.

Как решать степенные ряды

Пошаговый алгоритм для контрольной: сходимость, сумма, разложения.

Тренажёр рядов

Бесконечный поток задач с мгновенной проверкой ответа.

Частые вопросы

Что вводить в решатель — весь ряд или коэффициент?

Только коэффициент c_n как выражение от n: переменная в поле — именно n, а не x. Для ряда сумма x^n делить на 2^n введите 1/2^n; для ряда с n·x^n/2^n введите n/2^n. Сам икс и знак суммы подразумеваются: решатель ищет радиус по формуле Даламбера для коэффициентов, а интервал сходимости получает из радиуса автоматически.

Почему на концах интервала решатель не даёт вердикт?

Потому что его и не существует заранее: в точках x = ±R степенной ряд превращается в числовой, и его поведение зависит от коэффициентов — у ряда x^n/n² оба конца сходятся, у x^n/n расходятся оба, у знакочередующегося ведут себя по-разному. Любой инструмент, который ставит знак на концах по радиусу, обманывает. Решатель честно напоминает проверить концы отдельно — подставьте x = R в ряд и исследуйте числовой ряд признаками.

Как найти радиус, если коэффициент содержит факториал?

Факториал пишите как n! — движок распознаёт его и считает отношение соседних коэффициентов, устойчиво к переполнению: там, где прямое вычисление 170! ломает калькулятор, отношение c_n/c_{n+1} уже стабильно показывает предел. Классика: для 1/n! радиус бесконечен (так сходится экспонента), для n!/n^n радиус равен числу e.

Что означают случаи R = 0 и R = ∞?

R = ∞ — коэффициенты убывают быстрее любой геометрической прогрессии (1/n!, 1/(n!)^2), ряд сходится при каждом x из всех вещественных чисел: именно так устроены разложения e^x, sin x, cos x. R = 0 — коэффициенты растут слишком быстро (например, n^n или (n!)^2), и ряд сходится только в центре x = 0: как числовой ряд он существовать может, но функции не определяет.

Чем радиус сходимости по Даламберу отличается от формулы с корнем?

Это два равноценных способа: формула Даламбера R = lim|c_n/c_{n+1}| и формула Коши R = 1/lim sup корень степени n из |c_n|. Даламбер проще в выкладках, когда коэффициент устроен из факториалов и степеней; радикальная формула надёжнее, когда внутри сидит n^n или корни. Если предел отношения не существует, радикальная может всё ещё сработать — у неё шире область применимости, но считать её руками тяжелее.

Откуда решатель берёт точное значение радиуса?

Движок вычисляет отношение |c_n/c_{n+1}| в десяти пробах от n=10 до n=1000 — там, где double ещё не переполняется, — и по поведению хвоста отличает три судьбы: стабилизация к константе, рост без предела и затухание к нулю. Для стабилизации применяется экстраполяция Ричардсона, которая снимает поправку вида c/n и даёт точные значения на учебных примерах: 2, 3, 1/2 и даже e для n!/n^n.